ညီမျှခြင်း

ညီမျှခြင်း (equation) တစ်ခုသည် ပေးထားသော ဖန်ရှင်များ (functions) အတွက် မည်သည့် ကိန်းရှင်များ (variables) ၏ တန်ဖိုးများက တူညီသော ရလဒ်များကို ရရှိစေသနည်းဟူသည်ကို စူးစမ်းလေ့လာသည့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ပြဿနာတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဤကိန်းရှင်များကို မသိကိန်းများ (unknowns) ဟု ခေါ်သည်။ ၎င်းသည် $T_{1}=T_{2}$ ဟု သတ်မှတ်ထားသော ဖော်ပြချက်များ (expressions) နှစ်ခု၏ ညီမျှခြင်း (equality) ကို ပုံစံတကျ ဖော်ပြသည်။ ဖန်ရှင်များ မှီခိုနေသော အဝင်ကိန်းများ (arguments) သည် မသိကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။ ဖန်ရှင်၏ တန်ဖိုးများကို တူညီစေသော မသိကိန်းများ၏ တန်ဖိုးများကို ညီမျှခြင်း၏ အဖြေများ (solutions) သို့မဟုတ် ကိန်းရင်းများ (roots) ဟု ခေါ်သည်။

ဤအဖြေများ၏ တည်ရှိမှု၊ အရေအတွက်နှင့် မှန်ကန်မှုတို့သည် သတ်မှတ်ထားသော အခြေခံ သင်္ချာဆိုင်ရာ (mathematical) အရင်းအမြစ်စု (domain) $D$ အပေါ်တွင် တိကျစွာ မူတည်သည်။ ညီမျှခြင်းတစ်ခုသည် $D$ တွင် အဖြေတစ်ခု ရှိရန် မလိုအပ်ပေ။ ထိုသို့သော အခြေအနေမျိုးတွင် ၎င်းကို $D$ ၌ ဖြေရှင်း၍မရနိုင်သော ညီမျှခြင်းဟု ဆိုသည်။ ဥပမာအားဖြင့် $x^{4}-4=0$ ညီမျှခြင်းကို ရာရှင်နယ်ကိန်းများ (rational numbers) ၏ အရင်းအမြစ်စုတွင် ဖြေရှင်း၍ မရနိုင်ပေ။ ၎င်းသည် ကိန်းစစ်များ (real numbers) ၏ အရင်းအမြစ်စုတွင် အဖြေနှစ်ခုဖြစ်သော $x_{1}={\sqrt {2}},x_{2}=-{\sqrt {2}}$ တို့ကို ပိုင်ဆိုင်သည်။ ၎င်းသည် ကိန်းထွေးများ (complex numbers) ၏ အရင်းအမြစ်စုတွင် အဖြေလေးခုဖြစ်သော $x_{1}={\sqrt {2}},x_{2}=-{\sqrt {2}},x_{3}=i{\sqrt {2}},x_{4}=-i{\sqrt {2}}$ တို့ကို ပိုင်ဆိုင်သည်။

ခေတ်သစ် သရုပ်မဲ့ သင်္ချာ (abstract mathematics) တွင် ညီမျှခြင်းတစ်ခုကို $F(a)=\Phi (a)$ ဖြစ်စေမည့် တိကျသော အစု (set) $A$ မှ အစုဝင်များ (elements) $a$ ကို ရှာဖွေရသည့် ပြဿနာအဖြစ် ယေဘုယျပြု (generalized) ထားသည်။ ဤနေရာတွင် $F$ နှင့် $\Phi$ တို့သည် အစု $A$ မှ အခြား အစု $B$ သို့ သတ်မှတ်ထားသော ပုံဖော်မှုများ (mappings) ဖြစ်ကြသည်။ ဤအစုများ၏ သဘာဝသည် သင်္ချာဘာသာရပ်ဆိုင်ရာ ကဏ္ဍ (mathematical discipline) ကို အဆုံးအဖြတ်ပေးသည်။

• အကယ်၍ $A$ နှင့် $B$ တို့သည် ကိန်းများ (numbers) ၏ အစုများ ဖြစ်ပါက စံဖြစ်သော အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်းများ (algebraic equations) သို့မဟုတ် ကိန်းလွန် ညီမျှခြင်းများ (transcendental equations) ပေါ်ထွက်လာသည်။
• အကယ်၍ $A$ နှင့် $B$ တို့သည် ပိုမိုမြင့်မားသော အတိုင်းအတာ (dimension) များရှိသည့် ရပ်ဝန်းများ (spaces) ရှိ အမှတ်အစုများ (point sets) ဖြစ်ပါက ပုံဖော်မှုသည် ညီမျှခြင်းများ စနစ် (system of equations) တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးသည်။
• အကယ်၍ $A$ နှင့် $B$ တို့သည် ဖန်ရှင်များ၏ အစုများ (sets of functions) ဖြစ်ပါက ပုံဖော်မှုသည် ရိုးရိုး ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ (ordinary differential equations)၊ ကိန်းရှင်ခွဲ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ (partial differential equations) သို့မဟုတ် အင်တီဂရယ် ညီမျှခြင်းများ (integral equations) ကို သတ်မှတ်ပေးသည်။

သမိုင်းကြောင်းအရ တိုးတက်ဖြစ်ပေါ်လာမှု (Historical Development)

သင်္ချာသမိုင်းကြောင်း တစ်လျှောက်လုံးတွင် ညီမျှခြင်းများကို လေ့လာခြင်း၊ ပုံစံချခြင်းနှင့် ဖြေရှင်းခြင်းတို့သည် အက္ခရာသင်္ချာ (algebra)၊ ဂျီဩမေတြီ (geometry) နှင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (analysis) တို့၏ တိုးတက်ဖြစ်ပေါ်လာမှုအတွက် ဗဟိုမောင်းနှင်အားတစ်ခု ဖြစ်ခဲ့သည်။ ရှေးခေတ်ကာလ၏ အစောဆုံးသော စကားပြောဟန် ပြဿနာများ (rhetorical problems) မှသည် အလွန် သရုပ်မဲ့သော အုပ်စုသီအိုရီဆိုင်ရာ (group-theoretic) သက်သေပြချက်များ (proofs) အထိ၊ ညီမျှခြင်းများသည် တစ်ပိုင်းတစ်စ (discrete) တန်ဖိုးများကို တွက်ချက်ရန် လက်တွေ့အသုံးချ ကိရိယာများအဖြစ်မှ အဆက်မပြတ် မျဉ်းကွေးများ (continuous curves)၊ မျက်နှာပြင်များ (surfaces) နှင့် ရူပဗေဒဆိုင်ရာ ဖြစ်စဉ်များ (physical phenomena) ကို ဖော်ပြသည့် ယေဘုယျပြုထားသော တည်ဆောက်ပုံများအဖြစ်သို့ ဆင့်ကဲပြောင်းလဲလာခဲ့သည်။

ရှေးခေတ်ကာလ (Antiquity)

အီဂျစ် (Egypt)

ရိုင်းဒ် ပပိုင်းရပ်စ် (Rhind Papyrus) မှ အစိတ်အပိုင်းတစ်ခု

လူသိအများဆုံး အစောဆုံးသော အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်းများကို ရှေးခေတ် အီဂျစ် သင်္ချာတွင် တွေ့ရှိရပြီး ရိုင်းဒ် ပပိုင်းရပ်စ် (Rhind Papyrus) (ဘီစီ ၁၆၅၀ ခန့်) တွင် အထူးခြားဆုံး တွေ့ရသည်။ အာမက်စ် ပပိုင်းရပ်စ် (Ahmes Papyrus) ဟုလည်း ခေါ်သည်။ ဤအစောပိုင်း ပြဿနာများသည် စကားပြောဟန် (rhetorical) ဖြစ်ပြီး အထူးပြု သင်္ကေတများ မပါဝင်ဘဲ စကားလုံးများဖြင့်သာ အပြည့်အဝ ရေးသားထားသည်။ ယေဘုယျအားဖြင့် မသိကိန်းတစ်ခုတည်းပါဝင်သော မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများ (linear equations) ၏ ပုံသဏ္ဌာန်ကို ဆောင်သည်။ မသိကိန်း ပမာဏကို "အာဟာ (aha)" သို့မဟုတ် "အပုံ (heap)" ဟု ရည်ညွှန်းခဲ့ကြသည်။ ဤညီမျှခြင်းများသည် ပုံမှန်အားဖြင့် $x+ax=b$ သို့မဟုတ် $x+ax+bx=c$ ပုံသဏ္ဌာန်ကို ဆောင်သည်။ အီဂျစ်လူမျိုးများသည် ဤညီမျှခြင်းများကို ဖြေရှင်းရာတွင် မှားယွင်းယူဆချက်ဖြင့် တွက်ချက်နည်း (method of false position) ကို အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ ယင်းကို အမှားနည်းစနစ် (rule of false) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ ဤနည်းလမ်းတွင် "အပုံ" အတွက် ပုံမှန်အားဖြင့် မှားယွင်းနေသော တိကျသည့် တန်ဖိုးတစ်ခုကို ယူဆခြင်း၊ ပြသထားသော တွက်ချက်မှုများကို လုပ်ဆောင်ခြင်း၊ ပြီးနောက် မှန်ကန်သောအဖြေကို ရှာဖွေရန် မှားယွင်းသောရလဒ်အား ဂဏန်းသင်္ချာ အချိုးအစားများ (arithmetic proportions) အသုံးပြု၍ အချိုးချပြောင်းလဲခြင်း (scaling) တို့ ပါဝင်သည်။

မက်ဆိုပိုတေးမီးယား (Mesopotamia)

အခြေ-၆၀ စနစ် (Sexagesimal system)

ကျူနီဖောင်း ရွှံ့ပြားများပေါ်တွင် ထိန်းသိမ်းထားသော ဘေဘီလုံ သင်္ချာ (ဘီစီ ၁၈၀၀ မှ ၁၆၀၀ ခန့်) သည် အခြေ-၆၀ စနစ် (sexagesimal) ကို အသုံးပြု၍ သိသိသာသာ ပိုမိုအဆင့်မြင့်သော အယ်လ်ဂိုရီသမ်ဆိုင်ရာ စွမ်းဆောင်ရည် (algorithmic capability) ကို ပြသသည်။ ဘေဘီလုံလူမျိုးများသည် မသိကိန်းနှစ်ခုပါဝင်သော တစ်ပြိုင်နက် မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများ (simultaneous linear equations) ကို မကြာခဏ ဖြေရှင်းခဲ့ကြသည်။ ပို၍ထူးခြားသည်မှာ ၎င်းတို့သည် ကိန်းသုံးလုံးပါဝင်သော ပြီးပြည့်စုံသည့် နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများ (quadratic equations) ကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် အယ်လ်ဂိုရီသမ်များ ကို ပိုင်ဆိုင်ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့တွင် အနုတ်ကိန်းများ (negative numbers) ဆိုင်ရာ သဘောတရား မရှိသောကြောင့် နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများကို မတူညီသော အမျိုးအစားသုံးမျိုးအဖြစ် ခွဲခြားထားသည်။ ဤနေရာတွင် $p$ နှင့် $q$ တို့သည် အပေါင်း (positive) ကိန်းများ ဖြစ်ကြသည်။

$x^{2}+px=q$

$x^{2}=px+q$

$x^{2}+q=px$

ဤပြဿနာများကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် ဘေဘီလုံ အယ်လ်ဂိုရီသမ်များသည် ခေတ်သစ် နှစ်ထပ်ကိန်း ပုံသေနည်း (modern quadratic formula) နှင့် သင်္ချာနည်းကျ ထပ်တူညီသည်။ ၎င်းတို့သည် ဤပြဿနာများကို မကြာခဏဆိုသလို ကိန်းနှစ်ခု၏ မြှောက်လဒ်နှင့် ၎င်းတို့၏ ပေါင်းလဒ် သို့မဟုတ် ခြားနားခြင်းရလဒ် ပေးထားချိန်တွင် ယင်းကိန်းနှစ်ခုကို ရှာဖွေခြင်းဖြင့် ပုံစံချခဲ့ကြသည်။ ထို့နောက် ၎င်းတို့သည် တစ်ပြိုင်နက်ညီမျှခြင်းများကို ပုံမှန်ပုံစံ (normal form) နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းအဖြစ် အသွင်ပြောင်းခြင်း ဖြင့် ဖြေရှင်းခဲ့ကြသည်။ ဘေဘီလုံလူမျိုးများသည် $x^{3}=a$ ကဲ့သို့သော သီးသန့် သုံးထပ် ညီမျှခြင်းများ (pure cubic equations) နှင့် စံပုံစံ $x^{3}+x^{2}=a$ ရှိသော ရောနှော သုံးထပ် ညီမျှခြင်းများ (mixed cubic equations) ကိုလည်း ကုဗတုံးများ (cubes) နှင့် $n^{3}+n^{2}$ ပေါင်းစပ်မှုတို့ကို ကိုးကား၍ ဖြေရှင်းခဲ့ကြသည်။

တရုတ် (China)

သင်္ချာအနုပညာဆိုင်ရာ အခန်းကိုးခန်း (The Nine Chapters on the Mathematical Art) ကျမ်းမှ စာမျက်နှာတစ်ခု (၁၈၂၀ ခုနှစ် ထုတ်ဝေမှု)

ရှေးဟောင်း တရုတ်သင်္ချာသည် ညီမျှခြင်းများကို ဖြေရှင်းရာတွင် စောစီး၍ နက်ရှိုင်းသော ပံ့ပိုးမှုများကို ပြုလုပ်ခဲ့သည်။ ဂန္ထဝင်မြောက်ဖြစ်သော သင်္ချာအနုပညာဆိုင်ရာ အခန်းကိုးခန်း (The Nine Chapters on the Mathematical Art) တွင် တစ်ပြိုင်နက် မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်း ပြဿနာများကို ဖြေရှင်းနည်းများ ပါဝင်သည်။ မသိကိန်းများစွာပါဝင်သော စနစ်များကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် တရုတ်လူမျိုးများသည် စနစ်ကို လျှော့ချရန် တွက်ချက်ရေးဘုတ်ပြားပေါ်ရှိ ကိန်းအုံ (matrix) အပြင်အဆင်ပေါ်တွင် တိုင် တွက်ချက်မှုများ (column operations) ကို အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ ဤနည်းလမ်းသည် ခေတ်သစ် ကိန်းအုံ ပယ်ဖျက်ခြင်း ဖြစ်သော ဂေါက်ရှန်း ပယ်ဖျက်ခြင်း (Gaussian elimination) ကို တိုက်ရိုက် မျှော်မှန်းလုပ်ဆောင်ခဲ့ခြင်း ဖြစ်သည်။

ဆောင်းခေတ်ကာလအတွင်း ချင်ဂျိုရှောင်း (Qin Jiushao) နှင့် ကျူရှီကျဲ (Zhu Shijie) ကဲ့သို့သော တရုတ်သင်္ချာပညာရှင်များသည် ပိုမိုမြင့်မားသော ဒီဂရီများရှိသည့် (၁၄-ဒီဂရီအထိ) ပိုလီနိုမီရယ် ညီမျှခြင်းများ (polynomial equations) ကို ဖြေရှင်းခဲ့ကြသည်။ သူ၏ ၁၃၀၃ ခုနှစ်ထုတ် မသိကိန်းလေးခု၏ ကျောက်စိမ်းကြေးမုံ (Jade Mirror of the Four Unknowns) စာအုပ်တွင် ကျူရှီကျဲ (Zhu Shijie) သည် ကောင်းကင်ယံ မသိကိန်း နည်းလမ်း (method of the celestial element) ဟုလူသိများသော အသွင်ပြောင်းခြင်းနည်းလမ်းကို အသုံးပြုခဲ့သည်။ ဤနည်းလမ်းတွင် ကနဦး ခန့်မှန်းချက် (initial approximation) တစ်ခုကို ရှာဖွေခြင်းနှင့် အစဉ်လိုက်ဖြစ်သော ဒသမကိန်း ခန့်မှန်းတွက်ချက်မှုများ (decimal approximations) ရရှိစေရန်အတွက် ကိန်းရင်းများကို စနစ်တကျ လျှော့ချခြင်းတို့ ပါဝင်သည်။ ဤသို့ဖြင့် အနောက်နိုင်ငံများတွင် ဟော်နာ၏ နည်းလမ်း (Horner's method) ဟု မသိရှိမီ နှစ်ပေါင်း ၅၀၀ နီးပါးခန့်ကပင် အယ်လ်ဂိုရီသမ်တစ်ခုကို အောင်မြင်စွာ တီထွင်နိုင်ခဲ့သည်။

ကလက်ဆီကယ် နှင့် အလယ်ခေတ် ကာလများ (Classical and Medieval Periods)

ဂရိ (Greece)

သမိုင်းကြောင်းအရ ညီမျှခြင်းများအပေါ် ဂရိလူမျိုးများ၏ ချဉ်းကပ်မှုကို ဂျီဩမေတြီ အက္ခရာသင်္ချာ (geometric algebra) ဟူသော ရှုထောင့်မှတစ်ဆင့် ဖော်ပြခဲ့ကြသည်။ ဤအမြင်အရ စတုရန်းတစ်ခု၏ အနားနှင့် ထောင့်ဖြတ်မျဉ်းကဲ့သို့သော ဘုံအတိုင်းအတာမရှိသော ပမာဏများ (incommensurable magnitudes) ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိမှုသည် တစ်ပိုင်းတစ်စ ကိန်းများ (discrete numbers) နှင့် အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ပမာဏများ (continuous magnitudes) ကြားတွင် တင်းကျပ်သော ကွဲလွဲမှုကို ဖန်တီးခဲ့သောကြောင့် ဂရိလူမျိုးများသည် အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်းများကို ဂျီဩမေတြီပုံသဏ္ဌာန်များ အဖြစ်သို့ ဘာသာပြန်ဆိုခဲ့ကြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် $ax-x^{2}=b^{2}$ ကဲ့သို့သော နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းတစ်ခုကို ဖြေရှင်းရာတွင် မျဉ်းပိုင်း (line segment) $a$ အပေါ်၌ စတုရန်း $x^{2}$ တစ်ခုစာ လျော့နည်းနေသော ထောင့်မှန်စတုဂံ (rectangle) ကို အသုံးပြုခြင်း ဟု ဆိုလိုသည်။ သို့မှသာ ရရှိလာသော ဧရိယာသည် ပေးထားသည့် စတုရန်း $b^{2}$ နှင့် တူညီမည် ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် စဘက်တိုင် အွန်ဂူရူ (Sabetai Unguru) ကဲ့သို့သော ပညာရှင်များက ဂရိသင်္ချာကို အသွင်ပြောင်း အက္ခရာသင်္ချာ (disguised algebra) အဖြစ် ပုံဖော်ခြင်းသည် ခေတ်ကာလနှင့် မလျော်ညီကြောင်းနှင့် ဂရိသင်္ချာပညာရှင်များသည် အခြေခံ အက္ခရာသင်္ချာ မူဘောင်မပါဘဲ သန့်စင်သော ဂျီဩမေတြီ သဘောတရားများဖြင့်သာ တွေးခေါ်ခဲ့ကြကြောင်း ငြင်းခုံခဲ့ကြသည်။

အခြေခံ သဘောတရားရေးရာ မူဘောင်မည်သို့ပင်ရှိစေကာမူ ဂရိသင်္ချာပညာရှင်များသည် ခေတ်သစ်သင်္ချာတွင် သုံးထပ် ညီမျှခြင်းများအဖြစ် ခွဲခြားသတ်မှတ်ထားသည့် ပြဿနာများကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ဖြတ်မှတ်များ (geometric intersections) ကို တိကျစွာ အသုံးပြုခဲ့ကြသည်။ မီနက်ခ်မက်စ် (Menaechmus) သည် ကုဗတုံး နှစ်ဆပွားခြင်း (duplication of the cube) ($x^{3}=2a^{3}$) ကို ကတော့ချွန် ဖြတ်ပိုင်းများ (conic sections) ၏ ဖြတ်မှတ်များကို ရှာဖွေခြင်းအားဖြင့် ဖြေရှင်းခဲ့သည်။ အာခီမီးဒီးစ် (Archimedes) သည်လည်း $x^{2}(c-x)=db^{2}$ ကဲ့သို့သော သုံးထပ် ညီမျှခြင်းများကို ပါရာဘိုလာ (parabola) နှင့် ဟိုက်ပါဘိုလာ (hyperbola) တို့ကို ဖြတ်တောက်ခြင်းဖြင့် အလားတူ ဖြေရှင်းခဲ့ပြီး အပေါင်း ကိန်းရင်းများ (positive roots) အတွက် လိုအပ်သော ဂျီဩမေတြီ အခြေအနေများကို အပြည့်အဝ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာပြသခဲ့သည်။

အလက်ဇန္ဒရီးယား မြို့မှ ဒိုင်အိုဖန်းတပ်စ် (Diophantus) (အေဒီ ၂၅၀ ခန့်) နှင့်အတူ နက်ရှိုင်းသော အပြောင်းအလဲတစ်ခု ဖြစ်ပေါ်ခဲ့သည်။ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ နည်းလမ်းများနှင့် ကင်းကွာကာ ဒိုင်အိုဖန်းတပ်စ် (Diophantus) သည် သူ၏ ဂဏန်းသင်္ချာ (Arithmetica) စာအုပ်တွင် ညီမျှခြင်းများအတွက် တိကျသော ရာရှင်နယ် အဖြေများအပေါ်၌သာ အပြည့်အဝ အာရုံစိုက်ခဲ့သည်။ သူသည် အတိုကောက်ဟန် သင်္ကေတများ (syncopated notation) ကို အသုံးပြုခဲ့သည်။ ယင်းမှာ မသိကိန်း၏ ထပ်ကိန်းများအတွက် အတိုကောက်များကို အသုံးပြုခြင်း ဖြစ်သည်။ သူသည် နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများအတွက် တစ်ခုတည်းသော အပေါင်း ရာရှင်နယ် ကိန်းရင်း (positive rational root) ကိုသာ လက်ခံခဲ့ပြီး သုညနှင့် အနုတ် ကိန်းရင်းများကို အဓိပ္ပာယ်မဲ့သည် ဟု ကျော်ကြားစွာ ငြင်းပယ်ခဲ့သည်။

အိန္ဒိယ (India)

အလယ်ခေတ် အိန္ဒိယ သင်္ချာပညာရှင်များသည် ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ညီမျှခြင်းများအပေါ် သိသိသာသာ ချဲ့ထွင်ခဲ့ကြသည်။ မရေမရာ ညီမျှခြင်းများ (indeterminate equations) ဟုလည်း ခေါ်သည်။ ဗြဟ္မဂုတ္တ (Brahmagupta) (အေဒီ ၆၂၈ တွင် ထင်ရှား) သည် မျဉ်းဖြောင့် ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ညီမျှခြင်း (linear Diophantine equation) $ax+by=c$ အတွက် ယေဘုယျအဖြေတစ်ခုကို ပထမဆုံး ပေးစွမ်းနိုင်သူအဖြစ် ထင်ရှားသည်။ သူသည် ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်း $x^{2}=1+py^{2}$ အတွက်လည်း အဖြေများကို ပေးစွမ်းခဲ့သည်။ ယင်းကို နောင်တွင် အွိုင်လာ (Euler) မှ ပဲ့လ်၏ ညီမျှခြင်း (Pell's equation) ဟု မှားယွင်းစွာ အမည်ပေးခဲ့သည်။

ဂရိလူမျိုးများနှင့်မတူဘဲ ဟိန္ဒူ သင်္ချာပညာရှင်များသည် အီရာရှင်နယ် (irrational) ကိန်းရင်းများကို ကိန်းများအဖြစ် လက်ခံခဲ့ကြသည်။ ဗြဟ္မဂုတ္တ (Brahmagupta) သည် အနုတ်ကိန်းများနှင့် သုညအတွက် အခြေခံ ဂဏန်းသင်္ချာ (arithmetic) ကို တည်ထောင်ခဲ့သည်။ ဘာစကာရာ-၂ (Bhaskara II) ကဲ့သို့သော နောက်ပိုင်း သင်္ချာပညာရှင်များသည် သုညဖြင့် စားခြင်းကို (division by zero) ပုံစံတကျဖြစ်စေရန် ကြိုးပမ်းခဲ့ကြသည်။ သူ၏ လီလာဗတီ (Lilavati) ကျမ်းတွင် ဘာစကာရာ (Bhaskara) သည် $a/0$ ကို အနန္တ ပမာဏ (infinite quantity) တစ်ခုအဖြစ် သတ်မှတ်ခဲ့ပြီး $(a/0)\times 0=a$ ဟု အဆိုပြုခဲ့သည်။ ယင်းပမာဏကို khahara ဟုခေါ်ဆိုသည်။ ဤသည်မှာ ခေတ်သစ်သင်္ချာတွင် မှားယွင်းသော ဖော်ပြချက်ဖြစ်သော်လည်း သုညပါဝင်သော ညီမျှခြင်းများကို ဂဏန်းသင်္ချာဆိုင်ရာ မူဘောင်အတွင်းသို့ ယူဆောင်လာရန် စိတ်ဝင်စားဖွယ်ကောင်းသော အစောပိုင်း ကြိုးပမ်းမှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။

အစ္စလာမ့် လွှမ်းမိုးမှု (The Islamic Hegemony)

ဟီဆပ် အယ်လ်-ဂျာဘာ ဝါလ်-မူကာဘာလာ (Hisab al-jabr wa'l muqabalah) ကျမ်းမှ စာမျက်နှာတစ်ခု

အာရပ်သင်္ချာသည် ဂရိ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ယုတ္တိဗေဒကို ဟိန္ဒူ-ဘေဘီလုံ ဂဏန်းသင်္ချာနှင့် ပေါင်းစပ်ပေးခဲ့သည်။ မိုဟာမက် အစ်ဗင် မူဆာ အယ်လ်-ခိုဝါရစ်ဇ်မီ (Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi) (အေဒီ ၇၈၀-၈၅၀ ခန့်) သည် အလွန် ဩဇာလွှမ်းမိုးမှုရှိသော Hisab al-jabr wa'l muqabalah ကျမ်းကို ရေးသားခဲ့သည်။ ယင်းမှတစ်ဆင့် အယ်လ်ဂျီဘရာ ဟူသော စကားလုံး ဆင်းသက်လာခြင်း ဖြစ်သည်။ အစ္စလာမ် သင်္ချာပညာရှင်များသည် ပကတိ အနုတ်ပမာဏများ (absolute negative magnitudes) ကို ယေဘုယျအားဖြင့် ငြင်းပယ်ခဲ့ကြသောကြောင့် အယ်လ်-ခိုဝါရစ်ဇ်မီ (al-Khwarizmi) သည် ကိန်းအားလုံးကို အပေါင်းကိန်းအဖြစ် ဆက်လက်တည်ရှိစေရန် မျဉ်းဖြောင့်နှင့် နှစ်ထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်းများကို ကွဲပြားသော အမျိုးအစား ခြောက်ခုအဖြစ် ခွဲခြားခဲ့သည်။ သူသည် နှစ်ထပ်ကိန်းပြည့်ဖွဲ့ခြင်း (completing the square) တွက် အယ်လ်ဂိုရီသမ် ကိန်းဂဏန်း အဖြေများကို ပေးစွမ်းခဲ့သော်လည်း ဤကိန်းဂဏန်း စည်းမျဉ်းများကို ဂျီဩမေတြီ သက်သေပြချက်များ (geometric proofs) ဖြင့် ဖြောင့်ချက်ပေး ရှင်းလင်းခဲ့သည်။

၁၁ ရာစုတွင် အိုမာ ခေယမ် (Omar Khayyam) သည် သုံးထပ် ညီမျှခြင်းများ၏ ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ အဖြေကို စနစ်တကျ ယေဘုယျပြုခဲ့သည်။ ယေဘုယျ သုံးထပ် ညီမျှခြင်းများကို သန့်စင်သော အက္ခရာသင်္ချာနည်းဖြင့် ဖြေရှင်း၍မရနိုင်ဟု မှားယွင်းစွာ ယုံကြည်ခဲ့သောကြောင့် သူသည် ပါရာဘိုလာနှင့် ဟိုက်ပါဘိုလာကဲ့သို့သော ကတော့ချွန် ဖြတ်ပိုင်းများ၏ ဖြတ်မှတ်များကို ရှာဖွေခြင်းဖြင့် ၎င်းတို့ကို ဖြေရှင်းခဲ့သည်။

ဉာဏ်တဖန်မွေးခေတ် နှင့် သုံးထပ်နှင့် လေးထပ် ညီမျှခြင်းများ၏ အဖြေ (The Renaissance and the Solution of the Cubic and Quartic)

အာစ် မက်ဂ်နာ (Ars Magna) ကျမ်း၏ ခေါင်းစဉ်စာမျက်နှာ

ဥရောပ၏ ဉာဏ်တဖန်မွေးခေတ် သည် စကားပြောဟန် (rhetorical) အက္ခရာသင်္ချာမှ အတိုကောက်ဟန် (syncopated) သို့ တဖြည်းဖြည်း ကူးပြောင်းလာမှုနှင့် နောက်ဆုံးတွင် အပြည့်အဝ သင်္ကေတဟန် (symbolic) ညီမျှခြင်းများအဖြစ်သို့ ကူးပြောင်းလာမှုကို မျက်မြင်တွေ့ရှိခဲ့ရသည်။ နီကိုလတ်စ် ချူကေး (Nicolas Chuquet) ၏ Triparty (၁၄၈၄) သည် မသိကိန်းအတွက် ထပ်ကိန်း သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းကို မိတ်ဆက်ပေးခဲ့သည်။ ၎င်းသည် ဥရောပတွင် အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်းတစ်ခုအတွင်း သီးခြားတည်ရှိနေသော အနုတ်ကိန်းတစ်ခုကို ဖော်ပြသည့် ပထမဆုံး စာသားဖြစ်သော်လည်း သူက ၎င်းတို့ကို အဓိပ္ပာယ်မဲ့ ကိန်းများ (absurd numbers) အဖြစ်သာ ယူဆခဲ့သေးသည်။ ၁၅၅၇ ခုနှစ်တွင် အင်္ဂလိပ် သင်္ချာပညာရှင် ရောဘတ် ရီကော့ဒ် (Robert Recorde) သည် သူ၏ Whetstone of Witte စာအုပ်တွင် ခေတ်သစ် ညီမျှခြင်း သင်္ကေတ (modern equality sign) ($=$) ကို တီထွင်ခဲ့သည်။ ဤသို့တီထွင်ရာတွင် မျဉ်းပြိုင်နှစ်ကြောင်းထက် မည်သည့်အရာနှစ်ခုမျှ ပို၍ တူညီနိုင်မည်မဟုတ် ဟူ၍ ကျိုးကြောင်းဆင်ခြင်ခဲ့သည်။

၁၆ ရာစု၏ အကြီးမားဆုံးသော အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အောင်မြင်မှုမှာ သုံးထပ်နှင့် လေးထပ် ညီမျှခြင်းများ (cubic and quartic equations) ၏ ပြီးပြည့်စုံသော အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အဖြေဖြစ်သည်။ ယင်းကို ဂျီရိုလာမို ကာဒါနို (Gerolamo Cardano) က သူ၏ Ars Magna (၁၅၄၅) တွင် ထင်ရှားစွာ ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ သုံးထပ် ညီမျှခြင်းအတွက် အဖြေကို စစ်ပီယွန် ဒယ် ဖဲရို (Scipione del Ferro) နှင့် နီကိုလို တာတက်ဂလီယာ (Niccolo Tartaglia) တို့က သီးခြားစီ ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့ကြသည်။ လေးထပ် ညီမျှခြင်းအတွက် အဖြေကို နောင်တွင် ကာဒါနို (Cardano) ၏ တပည့်ဖြစ်သူ လူဒိုဗီကို ဖာရာရီ (Ludovico Ferrari) က ရှာဖွေတွေ့ရှိခဲ့သည်။

ဤအဖြေများသည် အက္ခရာသင်္ချာပညာရှင်များကို ကိန်းယောင်များ (imaginary numbers) နှင့် ရင်ဆိုင်ရန် တွန်းအားပေးခြင်းဖြင့် သင်္ချာပညာရပ်ကို အခြေခံကျကျ ပြောင်းလဲပစ်ခဲ့သည်။ သုံးထပ် ညီမျှခြင်းတစ်ခုတွင် ကိန်းစစ် ကိန်းရင်း သုံးခု (three real roots) ရှိသောအခါ ကာဒါနို-တာတက်ဂလီယာ ပုံသေနည်းသည် အနုတ်ကိန်းများ၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်းများကို မလွဲမသွေ တွက်ချက်ရန် လိုအပ်လာသည်။ ဤအခြေအနေကို ဆမခွဲနိုင်သော အခြေအနေ (irreducible case) ဟု ခေါ်သည်။ ရာဖေးလ် ဘွန်ဘယ်လီ (Rafael Bombelli) (၁၅၂၆-၁၅၇၂) သည် ကိန်းထွေးများ၏ (complex numbers) ဂဏန်းသင်္ချာကို ပုံစံတကျပြုလုပ်ခြင်းအားဖြင့် ဤသင်္ချာဆိုင်ရာ အကျပ်အတည်းကို ဖြေရှင်းခဲ့သည်။ ဤအရင်းများသည် (radicals) ကိန်းစစ်အဖြေများကို ထွက်ပေါ်လာစေရန် ပေါင်းစပ်ပေးသည့် ကွန်ဂျူဂိတ် ကိန်းယောင်များ (conjugate imaginaries) အဖြစ် လုပ်ဆောင်ကြောင်း သူက ပြသခဲ့သည်။

ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း အနုပညာ နှင့် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (The Analytic Art and Analytic Geometry)

လာ ဂျီဩမေတြီ (La Géométrie) ကျမ်းမှ စာမျက်နှာတစ်ခု

၁၆ ရာစု နှောင်းပိုင်းတွင် ဖရန်စွာ ဗီယက် (François Viète) သည် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း အနုပညာ (the analytic art) ကို မိတ်ဆက်ခြင်းဖြင့် ညီမျှခြင်းများ သီအိုရီကို တော်လှန်ပြောင်းလဲခဲ့သည်။ ဗီယက် (Viète) သည် ကိန်းရှင်ကြားခံများ (parameters) နှင့် မသိကိန်းများကြားတွင် အရေးပါသော သင်္ကေတပိုင်းဆိုင်ရာ ခွဲခြားမှုကို ပြုလုပ်ခဲ့ပြီး သိထားသော ပမာဏများအတွက် ဗျည်းအက္ခရာများ (consonants) ကို အသုံးပြုကာ မသိကိန်းများအတွက် သရအက္ခရာများ (vowels) ကို အသုံးပြုခဲ့သည်။ ဤအချက်က သင်္ချာပညာရှင်များအား တိကျသော ကိန်းဂဏန်း ဥပမာများထက်ကျော်လွန်၍ ညီမျှခြင်းများ၏ အတန်းအစား (class) တစ်ခုလုံးကို ကိုယ်စားပြုသည့် သရုပ်မဲ့ ညီမျှခြင်းတစ်ခုတည်းကို ရေးသားနိုင်စေခဲ့သည်။

၁၇ ရာစုတွင် ရီနေ ဒေကားတ် (René Descartes) နှင့် ပီယား ဒေ ဖဲမ (Pierre de Fermat) တို့သည် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာ ဂျီဩမေတြီ (analytic geometry) ကို သီးခြားစီ တီထွင်ခဲ့ကြသည်။ ၎င်း၏ La Géométrie (၁၆၃၇) တွင် ဒေကားတ် (Descartes) သည် ဗီယက် (Viète) ၏ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်းကို ခေတ်သစ် စံသတ်မှတ်ချက်သို့ ပြောင်းလဲခဲ့သည်။ ယင်းမှာ သိထားသော ကိန်းရှင်ကြားခံများအတွက် $a,b,c$ ကို အသုံးပြုပြီး မသိသော ကိန်းရှင်များအတွက် $x,y,z$ ကို အသုံးပြုခြင်း ဖြစ်သည်။ ပို၍အရေးကြီးသည်မှာ ဒေကားတ် (Descartes) သည် ရှေးဟောင်းဂရိတို့၏ ဂျီဩမေတြီ တစ်ပြေးညီဖြစ်မှု (geometric homogeneity) လိုအပ်ချက်ကို ဖယ်ရှားခဲ့သည်။ ထို့ကြောင့် $x^{2}$ သည် အတိုင်းအတာနှစ်ခုရှိသော ဧရိယာတစ်ခုကိုသာ တင်းကျပ်စွာ ကိုယ်စားပြုရန် မလိုအပ်တော့ဘဲ အတိုင်းအတာတစ်ခုရှိသော မျဉ်းပိုင်းတစ်ခုကိုလည်း ကိုယ်စားပြုနိုင်လာသည်။ ဖဲမ (Fermat) သည် မသိကိန်းနှစ်ခုပါဝင်သော မရေမရာ ညီမျှခြင်းများ (indeterminate equations) အပေါ် အာရုံစိုက်ခဲ့ပြီး ကိန်းရှင်နှစ်ခုပါ အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်းတစ်ခုသည် ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ နေရာ (geometric locus) သို့မဟုတ် မျဉ်းကွေး (curve) တစ်ခုကို သတ်မှတ်ပေးသည်ဟူသော မူဝါဒကို တည်ထောင်ခဲ့သည်။

အိုင်းဆက် နယူတန် (Isaac Newton) သည် အပိုင်းကိန်းနှင့် အနုတ်ထပ်ကိန်းများအတွက် ဘိုင်နိုမီရယ် သီအိုရမ် (binomial theorem) ကို ရှာဖွေတွေ့ရှိခြင်းနှင့် ပိုလီနိုမီရယ်တစ်ခု၏ ကိန်းရင်းများ၏ ထပ်ကိန်းများ ပေါင်းလဒ်ကို ရှာဖွေရန်အတွက် နယူတန်၏ ထပ်တူညီမှုများ (Newton's identities) ကို တီထွင်ခြင်းဖြင့် ညီမျှခြင်းများ သီအိုရီကို ပိုမိုတိုးတက်စေခဲ့သည်။

သရုပ်မဲ့ အက္ခရာသင်္ချာ နှင့် ငါးထပ် ညီမျှခြင်း (Abstract Algebra and the Quintic Equation)

၁၆ ရာစု၏ အောင်မြင်မှုများနောက်တွင် သင်္ချာပညာရှင်များသည် ယေဘုယျ ငါးထပ် ညီမျှခြင်း (quintic equation) ကို အက္ခရာသင်္ချာနည်းဖြင့် ဖြေရှင်းရန် ရာစုနှစ်ပေါင်းများစွာ အချိန်ယူ ကြိုးပမ်းခဲ့ကြသည်။ ၎င်းသည် ဒီဂရီ ငါး ရှိသော ညီမျှခြင်းဖြစ်သည်။ အာရန်ဖရီးဒ် ဗိုလ်သာ ဖွန် ချန်ဟောက်စ် (Ehrenfried Walter von Tschirnhaus) သည် ယေဘုယျ $n$ ကြိမ်မြောက် ဒီဂရီ ညီမျှခြင်းကို သီးသန့် ညီမျှခြင်း (pure equation) တစ်ခုအဖြစ် လျှော့ချရန် မျှော်လင့်ချက်ဖြင့် ချန်ဟောက်စ် အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (Tschirnhaus transformations) ကို တီထွင်ခဲ့သော်လည်း ဤနည်းလမ်းသည် ဒီဂရီ ငါး နှင့်အထက်ရှိသော ပိုလီနိုမီရယ်များအတွက် အလုပ်မဖြစ်ခဲ့ပေ။

၁၈၂၄ ခုနှစ်တွင် နော်ဝေ သင်္ချာပညာရှင် နီးလ်စ် ဟင်နရစ် အာဘဲလ် (Niels Henrik Abel) က သက်သေပြချက်တစ်ခုကို ထုတ်ဝေခဲ့ချိန်တွင် ဤရှာဖွေမှု အဆုံးသတ်သွားခဲ့သည်။ အဆိုပါ သက်သေပြချက်ကို အာဘဲလ်-ရူဖီနီ သီအိုရမ် (Abel-Ruffini theorem) ဟု သိကြပြီး လေးထက်ကြီးသော ဒီဂရီရှိသည့် ယေဘုယျ အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်း (general algebraic equation) ကို ၎င်း၏ မြှောက်ဖော်ကိန်းများအပေါ် အရင်းများ ကဲ့သို့သော ပြတ်သားသည့် အက္ခရာသင်္ချာ တွက်ချက်မှုများ (explicit algebraic operations) ဖြင့် ဖြေရှင်း၍မရနိုင်ကြောင်း ယင်းက သရုပ်ပြသခဲ့သည်။ ယင်းနောက် များမကြာမီတွင် အေဗာရစ်စ် ဂယ်လ်ဝါ (Évariste Galois) သည် ဂယ်လ်ဝါ သီအိုရီ (Galois theory) ကို တီထွင်ခြင်းဖြင့် ပြဿနာ၏ အခြေခံ တည်ဆောက်ပုံကို ဖြေရှင်းနိုင်ခဲ့သည်။ ဆမခွဲနိုင်သော အက္ခရာသင်္ချာ ညီမျှခြင်း (irreducible algebraic equation) တစ်ခုကို အရင်းများဖြင့် (radicals) ဖြေရှင်းနိုင်ခြင်းသည် ၎င်း၏ ကိန်းရင်းများ ပါဝင်သော ပါမြူတေးရှင်းအပြည့် အုပ်စု (symmetric group) က ဖြေရှင်းရ အုပ်စု (solvable group) တစ်ခု ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်ကြောင်း သူက ပြသခဲ့သည်။ ဤကြီးကျယ်သော အပြောင်းအလဲသည် အက္ခရာသင်္ချာ၏ အာရုံစိုက်မှုကို ညီမျှခြင်းများအား တိုက်ရိုက်တွက်ချက်ခြင်းမှ သင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ (mathematical structures) အား သရုပ်မဲ့ လေ့လာခြင်းဆီသို့ လမ်းကြောင်းပြောင်းပေးခဲ့သည်။

တစ်ပြိုင်နက် မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများ နှင့် အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုးများ (Simultaneous Linear Equations and Determinants)

အက္ခရာသင်္ချာကျမ်း (Treatise of algebra) ၏ ပြင်သစ်ဘာသာဖြင့် ထုတ်ဝေမှု (၁၇၄၈)

တစ်ပြိုင်နက် မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများကို ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းခြင်းသည် ၁၈ ရာစုတွင် သိသိသာသာ တိုးတက်လာခဲ့သည်။ ဂေဘရီရယ် ကရာမာ (Gabriel Cramer) သည် ၁၇၅၀ ပြည့်နှစ်တွင် အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုးများ (determinants) ကို အသုံးပြု၍ တစ်ပြိုင်နက်ညီမျှခြင်းများကို ဖြေရှင်းရန် ကရာမာ၏ စည်းမျဉ်း (Cramer's rule) ကို ထုတ်ဝေခြင်းကြောင့် ကျော်ကြားသော်လည်း စကော့လူမျိုး သင်္ချာပညာရှင် ကော်လင် မက်လောရင် (Colin Maclaurin) က ၎င်းကွယ်လွန်ပြီးနောက် ၁၇၄၈ ခုနှစ်တွင် ထုတ်ဝေခဲ့သော A Treatise of Algebra, in Three Parts တွင် ဤစည်းမျဉ်းကို ပိုမိုစောစီးစွာ ရှာဖွေတွေ့ရှိ ထုတ်ဝေခဲ့သည်။ ထို့နောက် အက်တီယန် ဘေဇူး (Étienne Bézout) သည် အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုး သီအိုရီကို အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ပယ်ဖျက်ခြင်း (algebraic elimination) ဆီသို့ တိုးချဲ့ခဲ့သည်။ ၎င်းနောက် အော်ဂက်စတင် လူဝီ ကော်ချီ (Augustin-Louis Cauchy) သည် အဆုံးအဖြတ်တန်ဖိုးများ သီအိုရီကို စနစ်တကျ ပြုစုခဲ့ပြီး ခေတ်သစ် စတုရန်း အခင်းအကျင်း သင်္ကေတ (square array notation) ကို ဖန်တီးခဲ့သည်။

ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ (Differential Equations)

နယူတန် (Newton) နှင့် လိုက်ဘ်နစ်ဇ် (Leibniz) တို့မှ ကဲကုလပ် (calculus) ကို တီထွင်လိုက်ခြင်းနှင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများသည် ရူပဗေဒနှင့် အင်ဂျင်နီယာပညာရပ်များအတွက် အဓိက သင်္ချာဆိုင်ရာ ကိရိယာ ဖြစ်လာခဲ့သည်။

• ရိုးရိုး ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ (Ordinary Differential Equations) - လီယွန်ဟတ် အွိုင်လာ (Leonhard Euler) သည် အင်တီဂရယ်အထောက်အကူပြု ဆခွဲကိန်းများ (integrating factors) နှင့် ကိန်းသေ မြှောက်ဖော်ကိန်းများ (constant coefficients) ပါဝင်သော ပိုမိုမြင့်မားသည့် အစဉ်ရှိ မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများကို ဖြေရှင်းရန် စနစ်ကျသော နည်းလမ်းများ အသုံးပြုခဲ့သည်။ ဂျိုးဆက် လူဝီ လာဂေါင့် (Joseph-Louis Lagrange) သည် တစ်ပြေးညီမဟုတ်သော မျဉ်းဖြောင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ (nonhomogeneous linear differential equations) ကို ဖြေရှင်းရန်အတွက် ကိန်းရှင်ကြားခံများ ပြောင်းလဲခြင်း (variation of parameters) နည်းလမ်းကို တီထွင်ခဲ့သည်။
• ကိန်းရှင်ခွဲ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ (Partial Differential Equations) - ဂျင်း လီ ရွန် ဒီအာလမ်ဘတ် (Jean Le Rond d'Alembert) သည် တုန်ခါနေသော ကြိုးများ၏ ပြဿနာကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခဲ့ပြီး အတိုင်းအတာတစ်ခုရှိသော လှိုင်းညီမျှခြင်း (wave equation) ကို ပုံစံချခဲ့သည်။
• တည်ရှိမှု နှင့် ယေဘုယျပြုထားခြင်း (Existence and Generalization) - ၁၉ ရာစုတွင် ကော်ချီ (Cauchy) သည် ရိုးရိုး ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများအတွက် တင်းကျပ်သော တည်ရှိမှု သီအိုရမ်များ (existence theorems) ကို သက်သေပြခဲ့သည်။ ၎င်းနောက် ဂျော့ချ် ဘူးလ် (George Boole) သည် မျဉ်းဖြောင့် ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများ၏ အဖြေရှာခြင်းကို လွယ်ကူချောမွေ့စေရန် ဒစ်ဖရန်ရှယ် အော်ပရေတာများ (differential operators) ၏ အယ်လ်ဂိုရီသမ်ကို မိတ်ဆက်ခဲ့သည်။ ဤနည်းလမ်းသည် ဒစ်ဖရန်ရှယ်များကို အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ကိုင်တွယ်ဖြေရှင်းခြင်း ဖြစ်သည်။

အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်း (Classification)

ညီမျှခြင်းများကို အမှီအခိုကင်းသော ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ စံသတ်မှတ်ချက် (analytical criteria) အများအပြားဖြင့် အမျိုးအစား ခွဲခြားထားသည်။

• ထပ်တူညီ ညီမျှခြင်းများ (Identity Equations) - သတ်မှတ်ထားသော အစုတစ်ခုအတွင်းရှိ ကိန်းရှင်အားလုံးအတွက် စကြဝဠာတစ်ခုလုံးဆိုင်ရာ မှန်ကန်သည့် ဖော်ပြချက်များ (universally valid statements) ဖြစ်သည်။ ဥပမာများတွင် ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associative property) နှင့် အွိုင်လာ ပုံသေနည်း (Euler's formula) ဖြစ်သည့် $e^{i\varphi }=\cos(\varphi )+i\sin(\varphi )$ တို့ ပါဝင်သည်။ ဤပုံသေနည်းကို တိကျသော တန်ဖိုး $\varphi =\pi$ တွင် တန်ဖိုးရှာဖွေခြင်း ပြုလုပ်သောအခါ အွိုင်လာ၏ ထပ်တူညီမှု (Euler's identity) ဖြစ်သော $e^{i\pi }+1=0$ ကို ရရှိသည်။
• ကန့်သတ်ချက်ဖြင့် ညီမျှခြင်းများ (Conditional Equations) - တိကျသော ကိန်းရှင်တန်ဖိုးများအတွက်သာ မှန်ကန်သည်။ အကယ်၍ မှန်ကန်သော အစားထိုးခြင်းများ (substitutions) မရှိပါက ညီမျှခြင်းသည် ပြေလည်မှုမရှိသော (unsatisfiable) အခြေအနေ ဖြစ်သွားသည်။
• အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် ညီမျှခြင်းများ (Definitional Equations) - သင်္ကေတ အသစ်တစ်ခုအတွက် သင်္ချာဆိုင်ရာ အဓိပ္ပာယ်ကို သတ်မှတ်ပေးရန် အသုံးပြုသည်။ ဥပမာအားဖြင့် $f'(x_{0}):=\dots$ ဟု အသုံးပြုခြင်းမျိုး ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့ကို ဘူးလီးယန်း အဆိုများ (boolean propositions) အဖြစ်မဟုတ်ဘဲ တည်ဆောက်ပုံဆိုင်ရာ (structural) နဂိုမှန်အဆိုများ (axioms) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။

• တစ်ပြေးညီ (Homogeneous) - $T(x)=0$ ပုံစံဖြစ်သည်။ အဖြေများသည် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဖန်ရှင်၏ ကိန်းရင်းများကို ကိုယ်စားပြုဖော်ပြသည်။
• အထိုင်မှတ် (Fixed-Point) - $T(x)=x$ ပုံစံဖြစ်သည်။
• ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး ပြဿနာများ (Eigenvalue Problems) - $T(x)=\lambda x$ ပုံစံဖြစ်သည်။ ကိန်းသေ ကိုယ်ပိုင်တန်ဖိုး (eigenvalue) $\lambda$ နှင့် ကိုယ်ပိုင်ဗက်တာ (eigenvector) $x\neq 0$ တို့ကို တစ်ပြိုင်နက်တည်း ရှာဖွေဖော်ထုတ်သည်။
• မျဉ်းဖြောင့် ညီမျှခြင်းများ (Linear Equations) - $T(x)=a$ ပုံစံကို ဆောင်သည်။ ဤနေရာတွင် $T(x)$ သည် ထပ်ဆင့်ခြင်း မူဝါဒ (superposition principle) ကို လိုက်နာသော မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာ (linear operator) တစ်ခု ဖြစ်ပြီး $T(\lambda x+\mu y)=\lambda T(x)+\mu T(y)$ အတိုင်းဖြစ်သည်။
• မျဉ်းဖြောင့်မဟုတ်သော ညီမျှခြင်းများ (Nonlinear Equations) -
  • အက္ခရာသင်္ချာ (Algebraic) - ဒီဂရီ (degree) နှစ် သို့မဟုတ် ထို့ထက်ပိုသော ပိုလီနိုမီရယ် ဖော်ပြချက်များ (polynomial expressions) ဖြစ်သည်။
  • ရာရှင်နယ် (Rational) - မသိကိန်းသည် ပိုင်းခြေ (denominator) အတွင်း၌ ပါဝင်သည်။
  • အရင်း (Radical) - မသိကိန်းသည် ကိန်းရင်းသင်္ကေတ အောက်တွင် ပါဝင်သည်။
  • ကိန်းလွန် (Transcendental) - မသိကိန်းသည် ထပ်ကိန်း (exponent) သို့မဟုတ် တြီဂိုနိုမေတြီ (trigonometric) အဝင်ကိန်းအဖြစ် တည်ရှိသည်။ ၎င်းသည် လော့ဂရစ်သမ် (logarithmic) တွက်ချက်မှုများကို လိုအပ်စေခြင်း သို့မဟုတ် ကာလမှန် (periodic) အဖြေအစုများကို ထွက်ပေါ်စေခြင်းတို့ ဖြစ်စေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် $\sin x=0$ မှ $x_{k}=k\pi$ ကို ရရှိခြင်းမျိုး ဖြစ်သည်။
• ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း (Diophantine) - ကိန်းပြည့် မြှောက်ဖော်ကိန်းများ (integer coefficients) ကို ပိုင်ဆိုင်သော စကေလာ ညီမျှခြင်းများ (scalar equations) အတွက် ကိန်းပြည့် (integer) အဖြေများကိုသာ တိကျစွာ ရှာဖွေသည်။
• ခြားနားခြင်း (Difference) - မသိကိန်းသည် တစ်ပိုင်းတစ်စ ကိန်းစဉ် (discrete sequence) တစ်ခု ဖြစ်သည်။
• ဖန်ရှင်နယ်၊ ဒစ်ဖရန်ရှယ် နှင့် အင်တီဂရယ် (Functional, Differential, and Integral) - ပစ်မှတ် မသိကိန်းသည် ဖန်ရှင်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်းများတွင် မသိသော ဖန်ရှင်၏ ဆင်းသက်ချက်များ (derivatives) ပါဝင်သည်။ သို့သော် အင်တီဂရယ် ညီမျှခြင်းများ သည် မသိသော ဖန်ရှင်ကို အင်တီဂရယ် အော်ပရေတာ (integral operator) အတွင်း မြှုပ်နှံထားသည်။

စနစ်များ နှင့် ဖြေရှင်းခြင်း နည်းစနစ်များ (Systems and Resolution Methodologies)

ညီမျှခြင်းများ စနစ်တစ်ခုတွင် တူညီသော ကိန်းရှင်အစုတစ်ခုတည်းက တစ်ပြိုင်နက် ပြေလည်စေရမည့် ညီမျှခြင်း အများအပြား ပါဝင်သည်။ တူညီသော အရင်းအမြစ်စုတစ်ခုအတွင်း စနစ်တစ်ခု၏ အဖြေတိုင်းသည် အခြားစနစ်တစ်ခု၏ အဖြေတစ်ခု ဖြစ်နေပါက ညီမျှခြင်းများ စနစ်နှစ်ခုသည် ထပ်တူညီသည် (equivalent) ဟု ဆိုနိုင်သည်။ သီးခြား ညီမျှခြင်းနှစ်ခုအတွက်လည်း ဤနည်းအတိုင်းပင် ဖြစ်သည်။

ညီမျှခြင်းတစ်ခုအား ဖြေရှင်းခြင်း၏ အခြေခံ လုပ်ငန်းစဉ်တွင် ၎င်းကို ထပ်တူညီသော ပုံစံ (equivalent form) တစ်ခုအဖြစ် ပြုပြင်ပြောင်းလဲခြင်း ပါဝင်သည်။ သို့သော် စုံကိန်း ထပ်ကိန်းတင်ခြင်း (exponentiation to an even power) ကဲ့သို့သော အချို့သော တွက်ချက်မှုများသည် တိကျစွာ ထပ်တူညီမှု မရှိဘဲ အဖြေအစုကို ပိုမိုကျယ်ပြန့်သွားစေသည်။ ထို့ကြောင့် ဤတွက်ချက်မှုကို ပြုလုပ်ပါက အပိုအဖြေများ (extra solutions) ပေါ်ထွက်လာနိုင်ပြီး ပြောင်းလဲထားသော ညီမျှခြင်းမှ ရရှိလာသော အဖြေအားလုံးကို စစ်ဆေးအတည်ပြုရန်အတွက် မူလညီမျှခြင်းထဲသို့ အစားထိုး ထည့်သွင်းရမည် ဖြစ်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ${\sqrt {x}}=1-x$ ကို နှစ်ထပ်ကိန်းတင်ခြင်း ပြုလုပ်ပါက $x^{2}-3x+1=0$ ကို ရရှိသည်။ ပိုကြီးသော အပေါင်း ကိန်းရင်း (positive root) ဖြစ်သည့် $x_{1}={\frac {3+{\sqrt {5}}}{2}}$ ကို ပယ်ဖျက်ရမည် ဖြစ်သည်။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ၎င်းကို မူလညီမျှခြင်းထဲသို့ အစားထိုးထည့်သွင်းသောအခါ ညာဘက်ခြမ်းတွင် အနုတ်တန်ဖိုးကို ရရှိစေပြီး ယင်းသည် ကိန်းစစ် ပင်မ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း ဖန်ရှင် (principal square root function) ၏ အနုတ်ကိန်းမဟုတ်ခြင်း ပစ်မှတ်စု (non-negative codomain) ကို ချိုးဖောက်နေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။

ညီမျှခြင်းများနှင့် စနစ်များကို ဖြေရှင်းခြင်းသည် အဓိက လမ်းကြောင်းသုံးခုအပေါ်တွင် အခြေခံထားသည်။

• ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ (Analytical) - ပစ်မှတ် ကိန်းရှင်များကို သီးသန့်ခွဲထုတ်ရန်အတွက် တိကျသော ထပ်တူညီမှု တွက်ချက်မှုများ (strict equivalence operations) ကို အသုံးပြု၍ဖြစ်စေ၊ မသိကိန်းများကို ပယ်ဖျက်ခြင်း (elimination) အားဖြင့်ဖြစ်စေ တိကျသော အဖြေရှာခြင်း ဖြစ်သည်။
• ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ (Numerical) - အပိတ်ပုံစံ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ အဖြေများ (closed-form analytical solutions) မရှိသော ရှုပ်ထွေးသည့် သို့မဟုတ် မျဉ်းဖြောင့်မဟုတ်သော စနစ်များအတွက် လက်တွေ့ကျသော အဖြေရှာရန် အသုံးပြုသည့် တွက်ချက်မှုဆိုင်ရာ ခန့်မှန်းတွက်ချက်မှု နည်းလမ်းများ (approximation methods) ဖြစ်သည်။
• အရည်အသွေးပိုင်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (Qualitative Analysis) - ကိန်းဂဏန်း တန်ဖိုးများကို ထုတ်ယူခြင်းမရှိဘဲ အဖြေတစ်ခု၏ တည်ရှိမှု၊ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်မှု (uniqueness) နှင့် ကိန်းရှင်ကြားခံများ (parameters) အရ တည်ငြိမ်မှု (parametric stability) တို့ကို သက်သေပြရန် စနစ်တစ်ခုကို သင်္ချာနည်းကျ အကဲဖြတ်ခြင်း ဖြစ်သည်။