ဆီမီးအုပ်စု

အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံများ
အုပ်စုဆန်သော တည်ဆောက်ပုံများ မက်ဂ်မာ ဆီမီးအုပ်စု မိုနွိုက် အုပ်စု အဘီလီယန်အုပ်စု ဆိုက်ကလစ်အုပ်စု အုပ်စုပိုင်း မူမှန်အုပ်စုပိုင်း
ကွင်းဆန်သော တည်ဆောက်ပုံများ ကွင်း ဖလှယ်ရ ကွင်း အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း ဖီးလ်ဒ် အစားကွင်း
မော်ဂျူးများ နှင့် အက္ခရာသင်္ချာများ မော်ဂျူး ဗက်တာရပ်ဝန်း အက္ခရာသင်္ချာ ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ *-အက္ခရာသင်္ချာ
အခြားတည်ဆောက်ပုံများ အိုင်ဒီးလ် ကိုဆက် စားလဒ်အုပ်စု တိုက်ရိုက် မြှောက်လဒ် တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ် တန်ဆာ မြှောက်လဒ်
မော်ဖစ်ဇင်များ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် အော်တိုမော်ဖစ်ဇင် အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် အပီမော်ဖစ်ဇင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်
အခြေခံ သဘောတရားများ နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု ထပ်တူရအစုဝင် ပြောင်းပြန် အစုဝင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ

သင်္ချာပညာတွင် ဆီမီးအုပ်စု (semigroup) ဆိုသည်မှာ ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိရှိသော နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု (associative binary operation) တစ်ခု ပါရှိသည့် အစု (set) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံ (algebraic structure) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထပ်တူရအစုဝင် (identity element) တစ်ခု တည်ရှိသည်ဟု ယူဆလိုက်ခြင်းအားဖြင့် ဆီမီးအုပ်စုတစ်ခုသည် မိုနွိုက် (monoid) တစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ အကယ်၍ အစုဝင်အားလုံးသည် ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော (invertible) ဂုဏ်သတ္တိပါ ထပ်မံပြည့်စုံပါက ၎င်းသည် အုပ်စု (group) တစ်ခု ဖြစ်လာသည်။ သို့ဖြစ်၍ ဆီမီးအုပ်စုများသည် အဆိုပါ တည်ဆောက်ပုံနှစ်ခုစလုံး၏ ကျယ်ပြန့်သော ယေဘုယျပြုထားခြင်း (generalization) တစ်ခုအဖြစ် တည်ရှိသည်။

ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Formal Definition)

ဆီမီးအုပ်စုဆိုသည်မှာ အစု $S$ နှင့် ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associative property) ကို ပြည့်စုံစေသော နှစ်လုံးသွင်းတွက်ချက်မှု $*\colon S\times S\to S$ တို့ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည့် အစီအစဉ်ကျအတွဲ (ordered pair) $(S,*)$ တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ၎င်းတွက်ချက်မှုသည် $a,b,c\in S$ အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။

$a*(b*c)=(a*b)*c$

ဖက်စပ်ရ နိယာမ (associative law) သည် တွက်ချက်မှု အစဉ်များအား တန်ဖိုးရှာဖွေခြင်း (evaluation) တွင် ကိန်းများကို မည်သို့ အစုအဖွဲ့ဖွဲ့သည်ဟူသောအချက်အပေါ် အမှီအခိုကင်းကြောင်း သေချာစေသည်။ ထို့ကြောင့် ယေဘုယျပြုထားသော ဖက်စပ်ရ နိယာမက ကွင်းများကို အဓိပ္ပာယ် ဝေခွဲမရဖြစ်ခြင်းမရှိဘဲ ရှင်းလင်းပြတ်သားစွာ ချန်လှပ်ထားခွင့် ပြုသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ယင်းကို $a_{1}*\cdots *a_{n}$ ဟု ရေးသားနိုင်သည်။

အခြေခံအစု (underlying set) $S$ သည် ဗလာမဟုတ်သောအစု (non-empty set) ဖြစ်ရန် မလိုအပ်ပေ။ ဗလာစု (empty set) သည် ဗလာတွက်ချက်မှု (empty operation) အောက်တွင် အသေးအဖွဲ ဆီမီးအုပ်စု (trivial semigroup) ကို ဖွဲ့စည်းသည်။ လက်တွေ့အသုံးပြုရာတွင် တွက်ချက်မှု $*$ ကို မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ အသွင်ဖြင့် မကြာခဏ ရေးသားလေ့ရှိသည်။ ယင်းကို $ab$ ဟု ရေးသားသည်။ အကယ်၍ ဆီမီးအုပ်စုသည် ဖလှယ်ရ (commutative) ဖြစ်ပါက ၎င်းကို အပေါင်းအခြေခံ အသွင်ဖြင့် ရေးသားလေ့ရှိသည်။ ယင်းကို $a+b$ ဟု ရေးသားသည်။

တည်ဆောက်ပုံပိုင်းများ နှင့် မော်ဖစ်ဇင်များ (Substructures and Morphisms)

• ဆီမီးအုပ်စုပိုင်း (Subsemigroup) - အကယ်၍ အစုပိုင်း (subset) $U\subseteq S$ သည် ဆီမီးအုပ်စု တွက်ချက်မှုအောက်တွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိရှိပါက ၎င်းသည် ဆီမီးအုပ်စုပိုင်း (subsemigroup) $(U,*)$ ကို ဖွဲ့စည်းသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ $a,b\in U$ အားလုံးအတွက် $a*b\in U$ ဖြစ်သည်။
• စားလဒ် ဆီမီးအုပ်စု (Quotient Semigroup) - $*$ နှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသော $S$ ပေါ်ရှိ ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် (equivalence relation) $R$ တစ်ခု ပေးထားပါက စားလဒ်အစု (quotient set) $S/R$ သည် လှုံ့ဆော်ဖြစ်ပေါ်လာသော ပုံမှန် တွက်ချက်မှု (induced canonical operation) $[a]*_{R}[b]=[a*b]$ အောက်တွင် စားလဒ် ဆီမီးအုပ်စု (quotient semigroup) ကို ဖွဲ့စည်းသည်။
• ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ (Homomorphisms) - ဆီမီးအုပ်စုများအကြားရှိ ပုံဖော်မှု (map) $\varphi \colon S_{1}\to S_{2}$ တစ်ခုသည် အက္ခရာသင်္ချာ တည်ဆောက်ပုံကို ထိန်းသိမ်းထားပါက ဆီမီးအုပ်စု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (semigroup homomorphism) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ $\varphi (a*_{1}b)=\varphi (a)*_{2}\varphi (b)$ ဖြစ်သည်။ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင်များ၏ စံအမျိုးအစားခွဲခြားခြင်းများကို ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (modern algebra) တွင်ကဲ့သို့ အတိအကျ အသုံးပြုသည်။ ထိုအမျိုးအစားခွဲခြားမှုများတွင် မိုနိုမော်ဖစ်ဇင်များ (monomorphisms)၊ အပီမော်ဖစ်ဇင်များ (epimorphisms)၊ အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင်များ (isomorphisms)၊ အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ (endomorphisms) နှင့် အော်တိုမော်ဖစ်ဇင်များ (automorphisms) တို့ ပါဝင်သည်။

ဂုဏ်သတ္တိများ နှင့် အစုဝင်များ (Properties and Elements)

အောက်ဖော်ပြပါ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများသည် သီးခြား ဆီမီးအုပ်စု အမျိုးအစားများနှင့် ၎င်းတို့၏ အစုဝင်များကို အမျိုးအစားခွဲခြားပေးသည်။

• ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ (Commutativity) - $a,b\in S$ အားလုံးအတွက် $a*b=b*a$ ဖြစ်ပါက ဆီမီးအုပ်စုသည် ဖလှယ်ရ ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို အဘီလီယန် (abelian) ဟုလည်း ခေါ်သည်။ မည်သည့် ဖလှယ်ရ ဆီမီးအုပ်စုကိုမဆို ဂရိုသန်ဒိခ် အုပ်စု တည်ဆောက်ပုံ (Grothendieck group construction) မှတစ်ဆင့် အုပ်စုတစ်ခုအတွင်းသို့ စကြဝဠာနည်းကျ ထည့်သွင်းနိုင်သည် သို့မဟုတ် ပုံဖော်နိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) ၏ အပေါင်းအခြေခံ ဆီမီးအုပ်စု (additive semigroup) မှ ကိန်းပြည့်များ (integers) ကို တည်ဆောက်ခြင်းဖြစ်သည်။
• ထပ်တူရပေးဂုဏ်သတ္တိ (Idempotence) - အကယ်၍ $a*a=a$ ဖြစ်ပါက အစုဝင် $a\in S$ သည် ထပ်တူရပေး (idempotent) ဖြစ်သည်။ ထပ်တူရပေး အစုဝင်များ (idempotent elements) ဖြင့်သာ အပြည့်အဝ ဖွဲ့စည်းထားသော ဆီမီးအုပ်စုကို ဘန်း (band) ဟု ခေါ်သည်။
• ချေဖျက်နိုင်သော ဂုဏ်သတ္တိ (Cancellativity) - အကယ်၍ $k*a=k*b\implies a=b$ ဖြစ်ပါက အစုဝင် $k\in S$ သည် ဘယ်ဘက်မှ ချေဖျက်နိုင်သော (left-cancellative) အစုဝင် ဖြစ်သည်။ ညာဘက်မှ ချေဖျက်နိုင်သော (right-cancellative) ဂုဏ်သတ္တိကိုလည်း အချိုးညီစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ အကယ်၍ အစုဝင်တစ်ခုသည် ထိုဂုဏ်သတ္တိ နှစ်ခုစလုံးကို ပြည့်စုံစေပါက ၎င်းသည် တိကျစွာ ချေဖျက်နိုင်သော (cancellative) အစုဝင် ဖြစ်သည်။ မှတ်သားဖွယ်ရာအဖြစ် မည်သည့် အဆုံးရှိ (finite) ချေဖျက်နိုင်သော ဆီမီးအုပ်စုမဆိုသည် မလွဲမသွေ အုပ်စုတစ်ခု ဖြစ်သည်။
• ထပ်တူရအစုဝင်များ (Identity Elements) - $a\in S$ အားလုံးအတွက် $e*a=a$ ဖြစ်ပါက အစုဝင် $e\in S$ သည် ဘယ် ထပ်တူရ (left identity) ဖြစ်သည်။ ဘယ် ထပ်တူရတစ်ခုသည် အမြဲတမ်း ထပ်တူရပေးဖြစ်ပြီး ဘယ်ဘက်မှ ချေဖျက်နိုင်သည်။ ပြောင်းပြန်အားဖြင့် မည်သည့် ဆီမီးအုပ်စုတွင်မဆို ထပ်တူရပေးဖြစ်ပြီး ဘယ်ဘက်မှ ချေဖျက်နိုင်သော အစုဝင်တစ်ခုသည် ဘယ် ထပ်တူရ ဖြစ်ရန် သေချာစေသည်။ အကယ်၍ ဆီမီးအုပ်စုတစ်ခုတွင် ဘယ် ထပ်တူရနှင့် ညာ ထပ်တူရ (right identity) နှစ်ခုစလုံး ပါဝင်ပါက ၎င်းတို့သည် ညီမျှကြသည်။ ထို့နောက် ၎င်းတို့သည် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော (unique) နှစ်ဖက်စလုံးအတွက် ထပ်တူရအစုဝင် (two-sided identity element) ကို ဖွဲ့စည်းပြီး ဆီမီးအုပ်စုအား မိုနွိုက်အဖြစ် ပြောင်းလဲစေသည်။
• ပြောင်းပြန်များ (Inverses) - ဘယ် ထပ်တူရ $e$ ပါရှိသော ဆီမီးအုပ်စုတစ်ခုတွင် $i*j=e$ ဖြစ်စေမည့် ဘယ်ပြောင်းပြန် (left inverse) $i$ တစ်ခု တည်ရှိပါက အစုဝင် $j$ သည် ဘယ်ဘက်မှ ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော (left-invertible) အစုဝင် ဖြစ်သည်။ ဘယ်ဘက်မှ ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော အစုဝင်များသည် အမြဲတမ်း ဘယ်ဘက်မှ ချေဖျက်နိုင်သည်။ အကယ်၍ $S$ အတွင်းရှိ အစုဝင်အားလုံးသည် ဘယ်ဘက်မှ ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်ပါက အဆိုပါ ဆီမီးအုပ်စုသည် အုပ်စုတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။
• အားနည်းသော ပြောင်းပြန်များ (Weak Inverses) - အကယ်၍ $j*i*j=j$ ဖြစ်ပါက အစုဝင် $j\in S$ သည် $i\in S$ ၏ အားနည်းသော ပြောင်းပြန် (weak inverse) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထိုကဲ့သို့သော အစုဝင် $j$ ကို တစ်ချိန်တည်းမှာပင် $S$ အတွင်းရှိ ပုံမှန် (regular) အစုဝင်တစ်ခုအဖြစ် ရည်ညွှန်းသည်။
• စုပ်ယူခြင်း (Absorption) - $a\in S$ အားလုံးအတွက် $o*a=o$ ဖြစ်ပါက အစုဝင် $o\in S$ သည် ဘယ်ဘက်မှ စုပ်ယူသော (left-absorbing) အစုဝင် ဖြစ်သည်။ စုပ်ယူအစုဝင်များ (absorbing elements) အားလုံးသည် ထပ်တူရပေး ဖြစ်ကြသည်။ အကယ်၍ ဆီမီးအုပ်စုတစ်ခုတွင် ဘယ်ဘက်မှ စုပ်ယူသော အစုဝင်နှင့် ညာဘက်မှ စုပ်ယူသော (right-absorbing) အစုဝင် နှစ်ခုစလုံး ပိုင်ဆိုင်ပါက ၎င်းတို့သည် ထပ်တူကျသွားပြီး တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော သုည အစုဝင် (zero element) ကို ဖွဲ့စည်းသည်။