ဆိုင်းနှင့် ကိုဆိုင်း ဖန်ရှင်များ

ဖန်ရှင်များ
အခြေခံ သဘောတရားများ အရင်းအမြစ်စု ပစ်မှတ်စု ပုံရိပ် မူလပုံရိပ် ဖန်ရှင် ပေါင်းစပ်ခြင်း ပြောင်းပြန်ဖန်ရှင်
ဖန်ရှင် အမျိုးအစားများ အင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင် ဆာဂျက်တစ် ဖန်ရှင် ဘိုင်ဂျက်တစ် ဖန်ရှင် စုံကိန်းဖန်ရှင်နှင့် မကိန်းဖန်ရှင် အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် အဆက်မပြတ်မဖြစ်သော ဖန်ရှင်များ
အခြေခံ ဖန်ရှင်များ ပိုလီနိုမီရယ် ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် လော့ဂရစ်သမ် ဆိုင်းနှင့် ကိုဆိုင်း ဖန်ရှင်များ
ပုံဖော်မှု နှင့် မော်ဖစ်ဇင်များ မျဉ်းဖြောင့် ပုံဖော်မှု အပေါင်းအခြေခံ ပုံဖော်မှု ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် အိုင်ဆိုမော်ဖစ်ဇင် ဟိုမီယိုမော်ဖစ်ဇင် ဒစ်ဖီယိုမော်ဖစ်ဇင် ဟိုလိုမော်ဖစ် ဖန်ရှင်

သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် ညီမျှခြင်း $y=\sin x$ ဖြင့် ဖော်ပြသော ဆိုင်း (sine) နှင့် ညီမျှခြင်း $y=\cos x$ ဖြင့် ဖော်ပြသော ကိုဆိုင်း (cosine) တို့သည် အခြေခံကျသော တြီဂိုနိုမေတြီ ဖန်ရှင်များ (trigonometric functions) ဖြစ်ကြသည်။ အဆိုပါ ဖန်ရှင်နှစ်ခုလုံးအတွက် အရင်းအမြစ်စု (domain) သည် $x$ တန်ဖိုး $-\infty$ မှ $\infty$ ကြားရှိ ကိန်းစစ်မျဉ်း (real line) တစ်ခုလုံး ဖြစ်သည်။ ၎င်းတို့၏ ပုံရိပ်အစု (range) သည် အပိတ် အပိုင်းအခြား (closed interval) ဖြစ်သည့် $[-1,1]$ ဖြစ်သည်။ ၎င်းဖန်ရှင်နှစ်ခုလုံးသည် $2\pi$ ကာလ (period) ရှိသော ကာလမှန် ဖန်ရှင်များ (periodic functions) ဖြစ်ကြသည်။ သို့သော်လည်း ၎င်းတို့သည် စုံမသဘာဝ (parity) တွင် ကွာခြားမှုရှိသည်။ ဆိုင်းသည် မကိန်းဖန်ရှင် (odd function) ဖြစ်ပြီး ကိုဆိုင်းသည် စုံကိန်းဖန်ရှင် (even function) ဖြစ်သည်။

အခြေခံ ထပ်တူညီမှုများ (Fundamental Identities)

ဆိုင်းနှင့် ကိုဆိုင်းတို့သည် ပိုက်သာဂိုရပ်စ် ထပ်တူညီမှု (Pythagorean identity) ဖြင့် နီးကပ်စွာ ဆက်စပ်နေကြသည်။ အဆိုပါ ထပ်တူညီမှုမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$

၎င်းတို့သည် အခြားသော တြီဂိုနိုမေတြီ ဖန်ရှင်များနှင့် အချိုးပြောင်းပြန် ဆက်သွယ်ချက်များ (reciprocal relationships) လည်း ရှိကြသည်။ ဆိုင်းကို ကိုဆီးကန့် (cosecant) ခေါ် $\csc x$ ဖြင့် ဆက်စပ်ထားသည်။ ကိုဆိုင်းကို ဆီးကန့် (secant) ခေါ် $\sec x$ ဖြင့် ဆက်စပ်ထားသည်။ ဆက်သွယ်ပုံများမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။

$\sin x={\frac {1}{\csc x}}\qquad {\text{and}}\qquad \cos x={\frac {1}{\sec x}}.$

ကဲကုလပ် (Calculus)

ကဲကုလပ် (calculus) တွင် အဆိုပါ ဖန်ရှင်များ၏ ဆင်းသက်ချက်များ (derivatives) နှင့် ယေဘုယျ အင်တီဂရယ်များ (indefinite integrals) သည် တစ်ခုမှတစ်ခုသို့ အလှည့်ကျ ပြောင်းလဲကြသည်။ ၎င်းတို့၏ ဆင်းသက်ချက်များမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။

$(\sin x)'=\cos x\qquad {\text{and}}\qquad (\cos x)'=-\sin x.$

၎င်းတို့၏ ယေဘုယျ အင်တီဂရယ်များမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။

$\int \sin(x)\,dx=-\cos x+C\qquad {\text{and}}\qquad \int \cos(x)\,dx=\sin x+C.$

ပါဝါကိန်းစဉ်တန်း နှင့် ပြောင်းပြန်များ (Power Series and Inverses)

အဆိုပါ ဖန်ရှင်နှစ်ခုလုံးကို မက်လောရင် ကိန်းစဉ်တန်း (Maclaurin series) ဟုခေါ်သော အနန္တ ပါဝါကိန်းစဉ်တန်း (infinite power series) များဖြင့် ကိုယ်စားပြုဖော်ပြနိုင်သည်။ ဤကိန်းစဉ်တန်းများသည် $x$ တန်ဖိုး $-\infty$ မှ $\infty$ ကြားရှိ ကိန်းစစ်များ (real numbers) အားလုံးအတွက် စုဆုံသည် (converge)။ ၎င်းကိန်းစဉ်တန်းများမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\dotsb$

$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\dotsb$

ဤတွက်ချက်မှုများကို ပြောင်းပြန်လှန်ရန် ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် ဖန်ရှင်များ (inverse functions) ကို အသုံးပြုသည်။ ယင်းတို့ကို အာ့ခ်ဆိုင်း (arcsine) $\arcsin$ နှင့် အာ့ခ်ကိုဆိုင်း (arccosine) $\arccos$ ဟု ခေါ်သည်။

ကိန်းထွေးများ နှင့် ဟိုက်ပါဘောလစ် ဖန်ရှင်များ (Complex numbers and Hyperbolic Functions)

ဆိုင်းနှင့် ကိုဆိုင်းတို့ကို ကိန်းထွေး $z$ အထိ တိုးချဲ့လိုက်သောအခါ ၎င်းတို့သည် ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင် (exponential function) နှင့် အွိုင်လာ ပုံသေနည်း (Euler's formula) မှတစ်ဆင့် ဆက်စပ်သွားသည်။

$e^{iz}=\cos z+i\sin z.$

အွိုင်လာ ပုံသေနည်းကို အသုံးပြု၍ ဖန်ရှင်နှစ်ခုလုံးကို ကိန်းထွေး ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင်များ (complex exponentials) ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ဖော်ပြနိုင်သည်။

$\sin z={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\qquad {\text{and}}\qquad \cos z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}.$

နောက်ဆုံးအနေဖြင့် ဤဖန်ရှင်များကို ညီမျှခြင်း $z=ix$ ကဲ့သို့သော ကိန်းယောင်သီးသန့်များ (purely imaginary numbers) တွင် တန်ဖိုးရှာဖွေသောအခါ (evaluated) ၎င်းတို့သည် ဟိုက်ပါဘောလစ် ဆိုင်း (hyperbolic sine) $\sinh x$ နှင့် ဟိုက်ပါဘောလစ် ကိုဆိုင်း (hyperbolic cosine) $\cosh x$ တို့အဖြစ်သို့ အသွင်ပြောင်းသွားသည်။

$\sin(ix)=i\sinh x\qquad {\text{and}}\qquad \cos(ix)=\cosh x.$

ကိုးကား

• Abramowitz၊ M.; Stegun၊ I. A. (1972)၊ Handbook of mathematical functions (reprint ed.)၊ Dover၊ §4.3
• Markushevich၊ A. I. (1977)၊ Theory of functions of a complex variable၊ 1၊ Translated from Russian၊ Chelsea