စံနှုန်း (သင်္ချာ)

သုံးဘက်မြင်အတိုင်းအတာတွင်း ဗက်တာများ၏ အမြင့်ဆုံးစံနှုန်း (maximum norm) (ကုဗတုံး မျက်နှာပြင်) နှင့် ပေါင်းလဒ်စံနှုန်း (taxicab norm) (အဋ္ဌဂံ မျက်နှာပြင်) တို့၏ ကိန်းသေ စံနှုန်းအစုများ (စံနှုန်းစက်လုံးများ)

သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် စံနှုန်း (Norm) ဆိုသည်မှာ ဗက်တာ(vector)၊ ကိန်းအုံ(matrix)၊ ကိန်းစဉ် (sequence) သို့မဟုတ် ဖန်ရှင် (function) ကဲ့သို့သော သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထုတစ်ခုအား ကိန်းဂဏန်းတစ်ခုနှင့် ချိတ်ဆက်ပေးသည့် ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်သည်။ ယင်းကိန်းဂဏန်းသည် ထိုအရာဝတ္ထု၏ ပမာဏကို တစ်နည်းနည်းဖြင့် ဖော်ပြရန် ရည်ရွယ်သည်။ "ပမာဏ" ၏ တိကျသော အဓိပ္ပာယ်မှာ လေ့လာနေသည့် အရာဝတ္ထုနှင့် အသုံးပြုထားသော စံနှုန်းအပေါ် မူတည်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် စံနှုန်းတစ်ခုသည် ဗက်တာတစ်ခု၏ အလျား၊ ကိန်းအုံတစ်ခု၏ အကြီးဆုံး ဆင်ဂူလာတန်ဖိုး၊ ကိန်းစဉ်တစ်ခု၏ ပြောင်းလဲမှု သို့မဟုတ် ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ အမြင့်ဆုံးတန်ဖိုးကို ကိုယ်စားပြုနိုင်သည်။ စံနှုန်းတစ်ခုကို အရာဝတ္ထု၏ ဘယ်ဘက်နှင့် ညာဘက်ရှိ ဒေါင်လိုက်မျဉ်းနှစ်ကြောင်း $\|\cdot \|$ ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။

စံနှုန်းသည် ကိန်းစစ် (real number) သို့မဟုတ် ကိန်းထွေး (complex number) များ အပေါ်ရှိ ဗက်တာရပ်ဝန်း (vector space) တစ်ခု၏ အစုဝင်တစ်ခုကို အနှုတ်မဟုတ်သော ကိန်းစစ်တစ်ခုသို့ ညွှန်းပို့ပေးသည့် ဖန်ရှင်တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းတွင် အပေါင်းကိန်းသေချာမှု (positive definiteness)၊ တစ်ပြေးညီ ပကတိကိန်းဖြစ်မှု (absolute homogeneity) နှင့် နိမ့်ကျစွာပေါင်းမှု (subadditivity) ဟူသော ဂုဏ်သတ္တိသုံးခု ရှိသည်။ ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုကို စံနှုန်းတစ်ခု တပ်ဆင်လိုက်သောအခါ အရေးကြီးသော ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (analytic properties ) ရှိသည့် စံနှုန်းသတ်မှတ်ထားသော ရပ်ဝန်းတစ်ခုကို ရရှိသည်။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ဗက်တာရပ်ဝန်းတစ်ခုပေါ်ရှိ စံနှုန်းတိုင်းသည် အတိုင်းဆ (metric) တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေပြီး ထိုမှတစ်ဆင့် တိုပေါ်လော်ဂျီ (topology) တစ်ခုကို ဖြစ်ပေါ်စေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။ အချင်းချင်း တူညီညီမျှသော စံနှုန်းနှစ်ခုသည် တူညီသော တိုပေါ်လော်ဂျီကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ အတိုင်းအတာ (dimension) အကန့်အသတ်ရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်းများပေါ်တွင် စံနှုန်းအားလုံးသည် အချင်းချင်း တူညီညီမျှကြသည်။

စံနှုန်းများကို မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာ (linear algebra) နှင့် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (functional analysis) တို့တွင် အထူးတလည် လေ့လာကြသည်။ ၎င်းတို့သည် ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (numerical analysis) တွင်လည်း အရေးကြီးသော အခန်းကဏ္ဍမှ ပါဝင်သည်။

အခြေခံသဘောတရားများ

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်

တြိဂံ မညီမျှခြင်း (triangle inequality) အရ ဗက်တာနှစ်ခု၏ ပေါင်းလဒ်အလျားသည် ၎င်းတို့၏ သီးခြားအလျားများ ပေါင်းလဒ်ထက် အများဆုံးအားဖြင့် တူညီနိုင်သည်။ ဗက်တာ x နှင့် y တို့ ဦးတည်ရာအရပ် တူညီမှသာ ညီမျှနိုင်သည်။

စံနှုန်းဆိုသည်မှာ ကိန်းစစ် သို့မဟုတ် ကိန်းထွေးများဖြစ်သော ဖီးလ် (field) $\mathbb {K}$ အပေါ်ရှိ ဗက်တာရပ်ဝန်း $V$ မှ ကိန်းစစ်များအစုသို့ ညွှန်းပို့ပေးသော ဖန်ရှင် $\|\cdot \|$ တစ်ခုဖြစ်သည်။

$\|\cdot \|\colon V\to {\mathbb {R} },\;x\mapsto \|x\|$,

၎င်းသည် ဗက်တာ $x,y\in V$ အားလုံးနှင့် စကေလာ (scalar) $\alpha \in \mathbb {K}$ အားလုံးအတွက် အောက်ပါ နဂိုမှန်အဆို သုံးခုကို ပြည့်စုံစေရမည်:

(၁) အပေါင်းကိန်းသေချာမှု	$\|x\|\geq 0$  နှင့်  $\|x\|=0\iff x=0_{V}$
(၂) တစ်ပြေးညီ ပကတိကိန်းဖြစ်မှု	$\|\alpha \cdot x\|=|\alpha |\cdot \|x\|$
(၃) နိမ့်ကျစွာပေါင်းမှု/ တြိဂံ မညီမျှခြင်း	$\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$

ဤတွင် $|\cdot |$ သည် စကေလာ၏ ပကတိတန်ဖိုးကို ကိုယ်စားပြုသည်။

ဤစံနှုန်းဆိုင်ရာ နဂိုမှန်အဆို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ၁၉၂၂ ခုနှစ်တွင် စတက်ဖန် ဘာနာ့ချ် (Stefan Banach) မှ ၎င်း၏ ပါရဂူဘွဲ့စာတမ်းတွင် ဖော်ထုတ်ခဲ့သည်။ ယနေ့ခေတ် အသုံးပြုနေသော စံနှုန်းသင်္ကေတကို ၁၉၀၈ ခုနှစ်တွင် အာဟတ် ရှမစ် (Erhard Schmidt) က ဗက်တာ $x$ နှင့် $y$ တို့ကြားရှိ အကွာအဝေး $\|x-y\|$ အဖြစ် ပထမဆုံး စတင်အသုံးပြုခဲ့သည်။

စံနှုန်း ဥပမာ

စံပြဥပမာတစ်ခုမှာ $\mathbb {R} ^{2}$ ပြင်ညီရှိ သုညမှတ်ကို မူလနေရာအဖြစ် အခြေခံသော ဗက်တာ $(x,y)$ တစ်ခု၏ ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်း (Euclidean norm) ဖြစ်သည်၊

                     $\|(x,y)\|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

ယင်းသည် ဗက်တာ၏ အလျားနှင့် ကိုက်ညီသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ဗက်တာ $(1,1)$ ၏ ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်းသည် ${\sqrt {2}}$ နှင့် ညီမျှသည်။ အပေါင်းကိန်းသေချာမှုကြောင့် ဗက်တာတစ်ခု၏ အလျားသည် သုညဖြစ်နေပါက ယင်းဗက်တာသည် သုညဗက်တာ ဖြစ်ရမည်။ တစ်ပြေးညီ ပကတိကိန်းဖြစ်မှုကြောင့် ဗက်တာတစ်ခု၏ အစိတ်အပိုင်းတစ်ခုစီကို ကိန်းတစ်ခုဖြင့် မြှောက်လိုက်ပါက ၎င်း၏ အလျားသည် ထိုကိန်း၏ ပကတိတန်ဖိုး (absolute value) ပမာဏမြှောက်လဒ်အတိုင်း ပြောင်းလဲသွားမည် ဖြစ်သည်။ နောက်ဆုံးအနေဖြင့် တြိဂံ မညီမျှခြင်းအရ ဗက်တာနှစ်ခု၏ ပေါင်းလဒ်အလျားသည် ၎င်းတို့ သီးခြားစီ အလျားများ ပေါင်းလဒ်ထက် အများဆုံးအားဖြင့် တူညီနိုင်သည်။

အခြေခံ ဂုဏ်သတ္တိများ

$\alpha =-1$ ဟု သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် တစ်ပြေးညီ ပကတိကိန်းဖြစ်မှုမှ အောက်ပါအတိုင်း ဆင်းသက်ရရှိသည်-

 $\|{-x}\|=\|x\|$   နှင့် ထို့ကြောင့်   $\|x-y\|=\|y-x\|$

ထို့ကြောင့် လက္ခဏာ ပြောင်းပြန်လှန်ခြင်းနှင့် ပတ်သက်၍ အချိုးညီမှု (symmetry) ရှိသည်။

ထို့ကြောင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ရှိ $\|x\|\geq 0$ ဟူသော သတ်မှတ်ချက်ကို ချန်လှပ်ထားနိုင်သည်၊ အကြောင်းမှာ ၎င်းသည် အခြားသော ဂုဏ်သတ္တိများမှ ဆင်းသက်လာသောကြောင့် ဖြစ်သည်-

$\|x\|={\frac {1}{2}}\left(2\|x\|\right)={\frac {1}{2}}\left(\|x\|+\|{-x}\|\right)\geq {\frac {1}{2}}\|x+{-x}\|={\frac {1}{2}}\|0\|=0$

ထို့အပြင် စံနှုန်းများအတွက် ပြောင်းပြန် တြိဂံ မညီမျှခြင်း(reverse triangle inequality) သည်လည်း အကျုံးဝင်သည်-

 ${\bigl |}\|x\|-\|y\|{\bigr |}\leq \|x-y\|$

၎င်းကို $x-y+y$ အပေါ် တြိဂံ မညီမျှခြင်း အသုံးချခြင်းနှင့် အချိုးညီမှုကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားခြင်းဖြင့် သက်သေပြနိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် စံနှုန်းတိုင်းသည် ညီညာစွာ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော ပုံဖော်မှု (uniformly continuous mapping) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် နိမ့်ကျစွာပေါင်းမှု နှင့် တစ်ပြေးညီ ပကတိကိန်းဖြစ်မှု တို့ကြောင့် စံနှုန်းတစ်ခုသည် နိမ့်ကျမျဉ်းဖြောင့်ဂုဏ် (sublinear) ရှိပြီး ထိုမှတဆင့် ခုံးသော ပုံဖော်မှု (convex mapping) တစ်ခု ဖြစ်လာသည်၊ ဆိုလိုသည်မှာ $t\in [0,1]$ အားလုံးအတွက် အောက်ပါအတိုင်း အကျုံးဝင်သည်-

$\|tx+(1-t)y\|\leq t\|x\|+(1-t)\|y\|$.

စက်လုံးများ (Norm Balls)

နှစ်ဘက် အတိုင်းအတာတွင် ယူကလစ်ဒ် စံနှုန်းအတွက် ယူနစ်စက်လုံး (အနီရောင်) နှင့် ယူနစ်စက်လုံးမျက်နှာပြင် (အပြာရောင်)

ဗက်တာ $x_{0}\in V$ နှင့် စကေလာ $r\in {\mathbb {K} }$ အတွက် $r>0$ ဖြစ်ပါက အောက်ပါ အစုများကို

$\{x\in V\colon \|x-x_{0}\|<r\}$    နှင့်    $\{x\in V\colon \|x-x_{0}\|\leq r\}$

ကို အဖွင့်စက်လုံး (open ball) နှင့် အပိတ်စက်လုံး (closed ball) ဟု အသီးသီးခေါ်ပြီး အောက်ပါ အစုကို

$\{x\in V\colon \|x-x_{0}\|=r\}$

$x_{0}$ ကို ဗဟိုပြု၍ အချင်းဝက် $r$ ရှိသော စက်လုံးမျက်နှာပြင် (sphere) ဟု ခေါ်သည်။ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တွင် $x_{0}=0$ နှင့် $r=1$ ဟု ရွေးချယ်ပါက ထွက်ပေါ်လာသော အစုများကို ယူနစ်စက်လုံး (unit ball) သို့မဟုတ် ယူနစ်စက်လုံးမျက်နှာပြင် (unit sphere) ဟု ခေါ်သည်။

စက်လုံး သို့မဟုတ် စက်လုံးမျက်နှာပြင် တိုင်းသည် သက်ဆိုင်ရာ ယူနစ်စက်လုံး သို့မဟုတ် ယူနစ်စက်လုံးမျက်နှာပြင်မှတဆင့် အချိုးအစား $r$ ဖြင့် အရွယ်ပြောင်းခြင်း (scaling) နှင့် ဗက်တာ $x_{0}$ ဖြင့် ပြိုင်တူ ရွှေ့ပြောင်းခြင်း (translation) ပြုလုပ်ခြင်းဖြင့် ဖြစ်ပေါ်လာသည်။ ယူနစ်စက်လုံးမျက်နှာပြင် ပေါ်ရှိ ဗက်တာတစ်ခုကို ယူနစ်ဗက်တာ (unit vector) ဟု ခေါ်သည်၊ $x\neq 0$ ဖြစ်သော မည်သည့်ဗက်တာအတွက်မဆို ${\tfrac {x}{\|x\|}}$ ဟု ယူနစ်ဗက်တာသတ်မှတ်ခြင်း (normalization) ပြုလုပ်ခြင်းဖြင့် သက်ဆိုင်ရာ ယူနစ်ဗက်တာကို ရရှိနိုင်သည်။

စက်လုံးတစ်ခုသည် ခုံးသောအစု (convex set) ဖြစ်ရမည်။ သို့မဟုတ်ပါက သက်ဆိုင်ရာပုံဖော်မှုသည် တြိဂံမညီမျှခြင်းကို ပြည့်စုံစေမည်မဟုတ်ပေ။ ထို့အပြင် တစ်ပြေးညီ ပကတိကိန်းဖြစ်မှုကြောင့် စက်လုံးတစ်ခုသည် $x_{0}$ အခြေပြု၍ အမြဲတမ်း အမှတ်အချိုးညီမှု (point-symmetric) ရှိရမည်။

အကန့်အသတ်ရှိသော အတိုင်းအတာ (finite-dimensional) ဗက်တာရပ်ဝန်းများရှိ စံနှုန်းတစ်ခုကို ၎င်းနှင့်သက်ဆိုင်သော စက်လုံးမှတဆင့်လည်း သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ထိုသို့သတ်မှတ်ရန်အတွက် အဆိုပါအစုသည် ခုံးသောအစုဖြစ်ခြင်း၊ သုညမှတ် အခြေပြု၍ အမှတ်အချိုးညီမှုရှိခြင်း၊ အပိတ်စုဖြစ်ခြင်း၊ အကန့်အသတ်ရှိခြင်း (bounded) နှင့် သုညမှတ်သည် ၎င်း၏ အတွင်းပိုင်းအမှတ် (interior point) ဖြစ်ခြင်း စသည့် အချက်များနှင့် ပြည့်စုံရမည်။ သက်ဆိုင်ရာ ပုံဖော်မှုကို မင်ကော့စကီး ဖန်ရှင်နယ် (Minkowski functional) သို့မဟုတ် ချိန်ညှိဖန်ရှင်နယ် (gauge functional) ဟုလည်း ခေါ်သည်။ ဟာမန် မင်ကော့စကီး (Hermann Minkowski) သည် ၁၈၉၆ ခုနှစ်ကတည်းက ကိန်းသီအိုရီ (number theory) ဆိုင်ရာ ပြဿနာများ၏ မူဘောင်အတွင်း၌ ယင်းကဲ့သို့သော ချိန်ညှိဖန်ရှင်နယ်များကို လေ့လာခဲ့သည်။

လှုံ့ဆော်ခံစံနှုန်းများ (Induced Norms)

စံနှုန်းတစ်ခုသည် အတွင်းမြှောက်လဒ် (inner product) $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ တစ်ခုမှ ဆင်းသက်လာနိုင်သော်လည်း မဖြစ်မနေ ဆင်းသက်လာရန် မလိုအပ်ပေ။ ထိုသို့ဆင်းသက်လာပါက ဗက်တာ $x\in V$ တစ်ခု၏ စံနှုန်းကို အောက်ပါအတိုင်း သတ်မှတ်သည်-

$\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$,

ဆိုလိုသည်မှာ ဤစံနှုန်းသည် ဗက်တာတစ်ခုကို ၎င်းကိုယ်တိုင် အတွင်းမြှောက်လဒ် ပြုလုပ်ခြင်း၏ နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (square root) ဖြစ်သည်။ ဤတွင် ၎င်းကို အတွင်းမြှောက်လဒ်-လှုံ့ဆော်ခံစံနှုန်း (norm induced by the inner product) သို့မဟုတ် ဟီလ်ဘတ် စံနှုန်း (Hilbert norm) ဟု ခေါ်ဆိုသည်။ အတွင်းမြှောက်လဒ်ကြောင့် ဖြစ်ပေါ်လာသော စံနှုန်းတိုင်းသည် ကော်ချီ-ရှဗာ့ဇ် မညီမျှခြင်း (Cauchy-Schwarz inequality)နှင့် ပြည့်စုံသည်-

$|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|$

ထို့အပြင် ၎င်းသည် ယူနစ်တရီ အသွင်ပြောင်းခြင်းများ (unitary transformations) အောက်တွင် မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (invariant) ရှိသည်။

ဂျော်ဒန်-ဗွန်နျူမန်း သီအိုရမ် (Jordan-von Neumann theorem) အရ အတွင်းမြှောက်လဒ်-လှုံ့ဆော်ခံစံနှုန်းသည် အနားပြိုင်စတုဂံ ညီမျှခြင်း (parallelogram law) နှင့် ပြည့်စုံသည် ။ သို့သော် အချို့သော အရေးကြီးသည့် စံနှုန်းများသည် အတွင်းမြှောက်လဒ်မှ ဆင်းသက်လာခြင်း မဟုတ်ပါ။ သမိုင်းကြောင်းအရ ကြည့်လျှင် ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (functional analysis) ဖွံ့ဖြိုးတိုးတက်မှု၏ အဓိကခြေလှမ်းတစ်ခုမှာ အတွင်းမြှောက်လဒ်အပေါ် အခြေခံမထားသော စံနှုန်းများကို မိတ်ဆက်ခဲ့ခြင်းပင် ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် စံနှုန်းတိုင်းအတွက် ၎င်းနှင့်သက်ဆိုင်သော အတွင်းမြှောက်လဒ်အကြို (semi-inner product) တစ်ခု ရှိသည်။

ကိုးကား

Heuser၊ Harro (2004)၊ Lehrbuch der Analysis. Teil 2 (13. Auflage ed.)၊ Teubner Verlag၊ ISBN 3-519-62232-7

Banach၊ Stefan (1922)၊ "Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales"၊ Fundamenta Mathematicae၊ 3 (1): 133–181

Werner (2007)၊ Funktionalanalysis၊ Springer၊ p. 41

Scriba; Schreiber (2009)၊ 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen၊ Springer၊ pp. 511–512