စုံမသဘာဝ (စုံကိန်း/မကိန်း)

သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် စုံမသဘာဝ (Parity) သည် ပေးထားသော ကိန်းပြည့် (integer) တစ်လုံးမှာ စုံကိန်းလား သို့မဟုတ် မကိန်းလား ဆိုသည်ကို ညွှန်ပြသော ဂုဏ်သတ္တိ ဖြစ်သည်။

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition)

စုံမသဘာဝကို အခြေခံအားဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း နှစ်မျိုး ခွဲခြားသတ်မှတ်သည်။

စုံကိန်း (Even number) အဖြစ် သတ်မှတ်ရန်မှာ ကိန်းပြည့် $n\in \mathbb {Z}$ သည် $2$ ၏ ဆတိုးကိန်းများ (multiples) အနက်မှ တစ်ခုဖြစ်ရမည်။ ဆိုလိုသည်မှာ မည်သည့်ကိန်းပြည့် $k\in \mathbb {Z}$ အတွက်မဆို $n=2k$ ပုံစံဖြင့် တိကျစွာ ရေးသားနိုင်ရမည် ဖြစ်သည်။ ယူကလစ်ဒ် (Euclid) ၏ အဲလီမင့်များ ကျမ်းတွင် ၎င်းကို ညီမျှသော အပိုင်းနှစ်ပိုင်း ခွဲခြား၍ရသော ကိန်းအဖြစ် ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုထားသည်။
မကိန်း (Odd number) အဖြစ် သတ်မှတ်ရန်မှာ ကိန်းပြည့်တစ်လုံးသည် စုံကိန်း မဖြစ်ရပါ။ ဆိုလိုသည်မှာ မည်သည့်ကိန်းပြည့် $k\in \mathbb {Z}$ အတွက်မဆို $n=2k+1$ ပုံစံရှိရမည် ဖြစ်သည်။ ယူကလစ်ဒ်က ၎င်းကို ညီမျှသော အပိုင်းနှစ်ပိုင်း ခွဲခြား၍မရနိုင်သော ကိန်း သို့မဟုတ် စုံကိန်းနှင့် ယူနစ် (unit) တစ်ခုကွာဟသော ကိန်းအဖြစ် ပုံစံတကျ အဓိပ္ပာယ်ဖွင့်ဆိုထားသည်။

ကိန်းပြည့်များ၏ စုံမသဘာဝ ဂုဏ်သတ္တိများ (Properties of Integer Parity)

အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Algebraic Properties)

ကိန်း $2$ သည် တစ်ခုတည်းသော စုံကိန်းဖြစ်သည့် သုဒ္ဓကိန်း (prime number) ဖြစ်သည်။
စုံကိန်းပြည့်များအစု $2\mathbb {Z}$ သည် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရ (multiplicative identity) မပါဝင်သော ဖလှယ်ရ ကွင်း (commutative ring) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။
စုံကိန်းပြည့်များအစုတွင် $2e=2$ ညီမျှခြင်းကို ပြေလည်စေမည့် မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ထပ်တူရအစုဝင် $e$ မရှိပါ။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် ၎င်းညီမျှခြင်းကို ပြေလည်စေသော ကိန်း $1$ မှာ မကိန်း ဖြစ်နေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။
စုံကိန်းပြည့်များအစု $2\mathbb {Z}$ သည် ကိန်းပြည့်များအစု $\mathbb {Z}$ ၏ ကွင်းပိုင်း (subring) တစ်ခုကိုသာ ဖွဲ့စည်းနိုင်ပြီး ယူနစ်ရှိဂုဏ်သတ္တိရှိ ကွင်း (unital ring) မဖြစ်နိုင်ပါ။
$2\mathbb {Z}$ သည် $\mathbb {Z}$ ၏ အကြီးဆုံး အိုင်ဒီးလ် (maximal ideal) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသည်။
ထို့ကြောင့် စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) ဖြစ်သော $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ သည် အစုဝင် နှစ်ခုသာပါဝင်သော အဆုံးရှိ ဖီးလ်ဒ် (finite field) တစ်ခု ဖြစ်သည်။
မကိန်းပြည့်များအစုသည် ကွင်း (ring) တစ်ခုကို လုံးဝ မဖွဲ့စည်းနိုင်ပါ။
မကိန်းပြည့် နှစ်လုံးကို ပေါင်းလိုက်ပါက ရလဒ်သည် မကိန်း မဟုတ်ဘဲ စုံကိန်းသာ ဖြစ်သွားသည့်အတွက် မကိန်းများသည် အပေါင်းတွက်ချက်မှုအောက်တွင် အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ (closure property) မရှိပါ။ ဤသို့ အပိတ်ဂုဏ်သတ္တိ မရှိခြင်းကပင် မကိန်းများကို ကွင်းတစ်ခု ဖွဲ့စည်းခွင့် မရအောင် ပိတ်ပင်ထားသည်။

အစုသီအိုရီဆိုင်ရာ ဂုဏ်သတ္တိများ (Set-theoretic Properties)

ကိန်းပြည့်အားလုံး၏ အရေအတွက်နှင့် စုံကိန်းပြည့်များ၏ အရေအတွက်တို့မှာ တူညီကြသည်။
စုံကိန်းများအစု $2\mathbb {Z}$ သည် ကိန်းပြည့်များအစုနည်းတူ ရေတွက်နိုင်သော အနန္တ (countably infinite) ဖြစ်သည်။

ကတ်တဂိုရီဆိုင်ရာ ရှုထောင့် (Categorical Perspective)

ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ (category theory) ရှုထောင့်မှကြည့်လျှင် ကိန်းပြည့်များကို အောက်ပါအတိုင်း ပုံစံတကျ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာနိုင်သည်။

ကိန်းပြည့်များကို ပုံမှန်အားဖြင့် ကြိုတင်အစဉ်ကျသောအစုများ (preorders) ထဲမှ အစု $(\mathbb {Z} ,\leq )$ အဖြစ် မှတ်ယူနိုင်သည်။
ထို့ကြောင့် ယင်းအစုကို ပါးလွှာသော ကတ်တဂိုရီ (thin category) တစ်ခုအနေဖြင့် သတ်မှတ်နိုင်သည်။
စုံကိန်းနှင့် မကိန်းများ၏ ပြည့်ဝသော ကတ်တဂိုရီပိုင်း (full subcategory) ပါဝင်မှုများ (inclusions) ကို အောက်ပါ ပုံကြမ်းအတိုင်း တွေ့မြင်နိုင်သည်။

{\begin{array}{ccc}(\mathbb {Z} ,\leq )&{\overset {\text{even}}{\hookrightarrow }}&(\mathbb {Z} ,\leq )\\n&\mapsto &2n\end{array}}{\phantom {AAAAA}}{\begin{array}{ccc}(\mathbb {Z} ,\leq )&{\overset {\text{odd}}{\hookrightarrow }}&(\mathbb {Z} ,\leq )\\n&\mapsto &2n+1\end{array}}

မည်သည့် $n$ ကိုမဆို ၎င်း၏ အောက်ဆုံးကိန်းပြည့် (floor) $\lfloor n/2\rfloor$ သို့ ပို့ပေးသော ဖန်တာ (functor) တစ်ခု ရှိသည်။

{\begin{array}{ccc}(\mathbb {Z} ,\leq )&{\overset {\lfloor -/2\rfloor }{\longrightarrow }}&(\mathbb {Z} ,\leq )\\n&\mapsto &\lfloor n/2\rfloor \end{array}}

ဤဖန်တာသည် $n$ ကို ရာရှင်နယ်ကိန်း (rational number) $n/2$ ထက်ငယ်သော သို့မဟုတ် ညီသော အကြီးဆုံးကိန်းပြည့်ထံသို့ ပို့ပေးခြင်း ဖြစ်သည်။
ထိုဖန်တာများသည် တွဲဖက် သုံးခုတွဲ (adjoint triple) ကို အောက်ပါအတိုင်း ဖွဲ့စည်းကြသည်။

{\text{even}}\;\dashv \;\lfloor -/2\rfloor \;\dashv \;{\text{odd}}

၎င်းတို့သည် $(\mathbb {Z} ,\leq )$ အပေါ်တွင် အောက်ပါ တွဲဖက် အသွင်သတ်မှတ်ချက် (adjoint modality) ကို လှုံ့ဆော်ပေးသည်။

{\text{Even}}\;\dashv \;{\text{Odd}}

ဤနေရာတွင် ${\text{Even}}:=2\lfloor -/2\rfloor$ သည် မည်သည့်ကိန်းပြည့်ကိုမဆို ၎င်း၏ စုံကိန်း အောက်ဆုံးကိန်းပြည့်တန်ဖိုး (floor value) သို့ ပို့ပေးသည်။
ထို့အတူ ${\text{Odd}}:=2\lfloor -/2\rfloor +1$ သည် မည်သည့်ကိန်းပြည့်ကိုမဆို ၎င်း၏ မကိန်း အထက်ဆုံးကိန်းပြည့်တန်ဖိုး (ceiling value) သို့ ပို့ပေးသည်။

ကိုးကား

F. William Lawvere, Adjoint Cylinders, message to Categories Mailing List (November 2000)
Euclid, Elements Book VII (~400-300 BC) translated by Thomas L. Heath (1956) Perseus Digital Library