စုဆောင်းမှတ်

စုဆုံမှတ် နှင့် မရောထွေးပါနှင့်။

သင်္ချာပညာတွင် တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space) $X$ အတွင်းရှိ အစုပိုင်း (subset) $S$ တစ်ခု၏ စုဆောင်းမှတ် (limit point) သည် အမှတ် $x\in X$ တစ်ခုဖြစ်သည်။ ယင်းကို အစုအဖွဲ့မှတ် (cluster point) သို့မဟုတ် accumulation point ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ ထိုအမှတ် $x$ ၏ ပတ်ဝန်းကျင်များ (neighborhoods) တွင် $x$ ကိုယ်တိုင်နှင့် ကွဲပြားသော $S$ ၏ အစုဝင် (element) အနည်းဆုံးတစ်ခု အမြဲပါဝင်သည်။ အမှတ် $x$ သည် $S$ ၏ အစုဝင် ဖြစ်ရန် မလိုအပ်ပေ။ အစုတစ်ခု၏ အပိတ် (closure) အတွင်းရှိ မည်သည့်အမှတ်မဆို စုဆောင်းမှတ် (limit point) သို့မဟုတ် သီးသန့်မှတ် (isolated point) ဖြစ်ရမည်။ ပေးထားသော အစု $S$ ၏ စုဆောင်းမှတ်များအားလုံး ပါဝင်သော အစုကို ၎င်း၏ ဆင်းသက်အစု (derived set) ဟု ခေါ်သည်။

အစုများ၏ စုဆောင်းမှတ်များ (Accumulation Points of Sets)

ယေဘုယျ ရပ်ဝန်းများတွင် စုဆောင်းမှတ်တစ်ခု ဖြစ်ရန်အတွက် ပတ်ဝန်းကျင်တိုင်း၌ ကွဲပြားသော $S$ ၏ အစုဝင်တစ်ခု ပါဝင်နေရန်သာ လိုအပ်သည်။ သို့ရာတွင် အခြေခံ ရပ်ဝန်း $X$ သည် $T_{1}$ ရပ်ဝန်း ($T_{1}$ space) ဖြစ်ပါက ဤအဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်သည် ပိုမိုရိုးရှင်းသွားသည်။ ဤရပ်ဝန်းအမျိုးအစားတွင် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ (metric spaces) အားလုံး ပါဝင်သည်။ ဤအခြေအနေတွင် $x$ ၏ ပတ်ဝန်းကျင်တိုင်း၌ အနန္တ (infinitely many) ဖြစ်သော $S$ ၏ အစုဝင်များ ပါဝင်မှသာလျှင် $x$ သည် စုဆောင်းမှတ် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ ဖရေးရှေး-ယူရီဆန် ရပ်ဝန်း (Fréchet–Urysohn space) တစ်ခုတွင် ဤအချက်သည် $x$ သို့ စုဆုံသော (converge) $S\setminus \{x\}$ အတွင်းရှိ ကိန်းစဉ် (sequence) တစ်ခု တည်ရှိခြင်းနှင့် အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသည်။

$S$ နှင့် $x$ ၏ ပတ်ဝန်းကျင်များအကြားရှိ ထပ်တူပိုင်းအစု (intersection) ၏ အစုအရွယ်အစား (cardinality) အပေါ်မူတည်၍ သီးခြား အမျိုးအစားခွဲခြားခြင်းများ တည်ရှိသည်။

• $\omega$-စုဆောင်းမှတ် ($\omega$-accumulation point) - $x$ ၏ ပတ်ဝန်းကျင်တိုင်းတွင် အဆုံးမရှိများပြားသော $S$ ၏ အမှတ်များ ပါဝင်သည်။
• သိပ်သည်းမှတ် (Condensation point) - $x$ ၏ ပတ်ဝန်းကျင်တိုင်းတွင် ရေတွက်၍မရသော အရေအတွက် (uncountably many) ရှိသည့် $S$ ၏ အမှတ်များ ပါဝင်သည်။
• ပြည့်စုံသော စုဆောင်းမှတ် (Complete accumulation point) - $x$ ၏ ပတ်ဝန်းကျင်တိုင်းတွင် $S$ ၏ စုစုပေါင်း အစုအရွယ်အစားနှင့် ညီမျှသော အရေအတွက်ရှိသည့် $S$ ၏ အမှတ်များ ပါဝင်သည်။

ကိန်းစဉ်များနှင့် ကွန်ရက်များ၏ စုဆောင်းမှတ်များ (Accumulation Points of Sequences and Nets)

ကိန်းစဉ်များအတွက်မူ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်သည် အစုများ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်နှင့် ကွဲလွဲသည်။ ကိန်းစဉ် $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ တစ်ခု၏ စုဆောင်းမှတ် (accumulation point of a sequence) ဆိုသည်မှာ အမှတ် $x$ တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ထို $x$ ၏ ပတ်ဝန်းကျင်တိုင်းတွင် အဆုံးမရှိများပြားသော အညွှန်းများ (indices) $n$ အတွက် ကိန်းများ (terms) $x_{n}$ ပါဝင်သည်။ ပထမအကြိမ် ရေတွက်နိုင်သော ရပ်ဝန်းများ (first-countable spaces) သို့မဟုတ် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများတွင် ဤအခြေအနေသည် $(x_{n})$ ၏ ကိန်းစဉ်ပိုင်း (subsequence) အချို့အတွက် $x$ သည် စုဆုံမှတ် (limit) ဖြစ်ခြင်းနှင့် အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသည်။

ဤသဘောတရားသည် ကွန်ရက်များ (nets) နှင့် ဖစ်လ်တာများ (filters) ထံသို့ သဘာဝကျစွာ ကျယ်ပြန့်သွားသည်။ ကိန်းစဉ်တစ်ခု၏ စုဆောင်းမှတ်သည် ကိန်းစဉ်တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ်နှင့် ကွဲပြားကြောင်းကို သတိပြုရမည်။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် စုဆုံမှတ် သဘောတရားသည် ကိန်းစဉ်တစ်ခုလုံးအနေဖြင့် နောက်ဆုံးတွင် စုဆုံမှတ်၏ ပတ်ဝန်းကျင်တိုင်းထဲသို့ ဝင်ရောက်ရန်နှင့် ထိုနေရာ၌သာ ဆက်လက်တည်ရှိနေရန် တိကျစွာ လိုအပ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။

အစုများနှင့် ကိန်းစဉ်များအကြား ဆက်စပ်မှု (Relationship Between Sets and Sequences)

ကိန်းစဉ်တစ်ခု၏ ပုံရိပ် (image) သည် အစုတစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းသော်လည်း ၎င်းတို့၏ သက်ဆိုင်ရာ စုဆောင်းမှတ်များသည် ပင်ကိုသဘာဝအားဖြင့် အတိအကျတူညီမှု မရှိပေ။ ဥပမာအားဖြင့် ကိန်းသေ ကိန်းစဉ် (constant sequence) $(c,c,c,\ldots )$ တွင် ထိုကိန်းစဉ်၏ စုဆောင်းမှတ်အဖြစ် $c$ ရှိသည်။ သို့သော်လည်း သက်ဆိုင်ရာ ပုံရိပ်အစု (image set) $\{c\}$ သည် သီးသန့်မှတ် တစ်ခုတည်းဖြင့်သာ ဖွဲ့စည်းထားသောကြောင့် ၎င်းတွင် စုဆောင်းမှတ်များ မရှိပေ။ ပြောင်းပြန်အားဖြင့် အကယ်၍ ကိန်းစဉ်တစ်ခုတွင် ထပ်နေသော အစုဝင်များ (repeating elements) မပါဝင်ပါက ထိုကိန်းစဉ်၏ မည်သည့် စုဆောင်းမှတ်မဆိုသည် ၎င်း၏ အခြေခံ ပုံရိပ်အစု၏ $\omega$-စုဆောင်းမှတ် တစ်ခုနှင့် အတိအကျ ကိုက်ညီမှု ရှိသည်။

အခြေခံ ဂုဏ်သတ္တိများ (Fundamental Properties)

စုဆောင်းမှတ်များဆိုင်ရာ သဘောတရားသည် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ အပိတ်များ (topological closures) နှင့် အပိတ်စုများ (closed sets) ကို အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ရာတွင် အဓိကကျသည်။ အဓိက ဂုဏ်သတ္တိများတွင် အောက်ပါတို့ ပါဝင်သည်။

• အပိတ် (Closure) - $\operatorname {cl} (S)$ ဟု သင်္ကေတပြုထားသော အစု $S$ တစ်ခု၏ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ အပိတ်သည် ၎င်း၏ သီးသန့်မှတ်များနှင့် စုဆောင်းမှတ်များ၏ ဘုံမပါသော ပေါင်းစပ်စု (disjoint union) ဖြစ်သည်။ အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီမှုအရ အပိတ်ဆိုသည်မှာ $S$ ကိုယ်တိုင်နှင့် ၎င်း၏ ဆင်းသက်အစုတို့၏ ပေါင်းစပ်စု (union) ဖြစ်သည်။
• အပိတ်စုများ (Closed Sets) - အစုပိုင်း $S$ တစ်ခုတွင် ၎င်း၏ စုဆောင်းမှတ်များအားလုံး ပါဝင်မှသာလျှင် ထိုအစုပိုင်းသည် အပိတ်စု ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။
• ပတ်ဝန်းကျင်များ (Neighborhoods) - အမှတ် $x$ တစ်ခုသည် $S\setminus \{x\}$ ၏ အပိတ်တွင် ပါဝင်မှသာလျှင် ထိုအမှတ်သည် $S$ ၏ စုဆောင်းမှတ် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။
• တစ်ပိုင်းတစ်စ ရပ်ဝန်းများ (Discrete Spaces) - တစ်ပိုင်းတစ်စ တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (discrete topological space) တစ်ခုတွင် အမှတ်အားလုံးသည် အပြည့်အဝ သီးသန့်ဖြစ်နေသောကြောင့် မည်သည့်အစုတွင်မျှ စုဆောင်းမှတ်များ မပါရှိပေ။