စုဆုံမှတ်

သင်္ချာပညာတွင် စုဆုံမှတ် (limit) ဆိုသည်မှာ ဖန်ရှင် (function) တစ်ခု၊ ကိန်းစဉ် (sequence) တစ်ခု သို့မဟုတ် အခြားသော သင်္ချာဆိုင်ရာ အရာဝတ္ထု (mathematical object) တစ်ခု၏ အဝင်ကိန်း (input) သို့မဟုတ် အညွှန်း (index) သည် သတ်မှတ်ထားသော အမှတ် (point) တစ်ခုသို့ ချဉ်းကပ်သွားသောအခါ ၎င်းဖန်ရှင် သို့မဟုတ် အရာဝတ္ထုက ချဉ်းကပ်သွားသည့် တန်ဖိုးဖြစ်သည်။ စုဆုံမှတ်များသည် ကဲကုလပ် (calculus) နှင့် သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (mathematical analysis) တို့၏ အခြေခံ သဘောတရားများ ဖြစ်ကြသည်။ ယင်းတို့သည် အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity)၊ ဆင်းသက်ချက်များ (derivatives) နှင့် အင်တီဂရယ်များ (integrals) အတွက် တိကျသေချာသော အခြေခံအုတ်မြစ်များကို ပံ့ပိုးပေးသည်။^[၁]

$x$ သည် $c$ သို့ ချဉ်းကပ်သွားချိန်တွင် $f$ ဟူသော ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ်အတွက် ဖော်ပြချက်ကို ယေဘုယျအားဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း ရေးသားလေ့ရှိသည်။

\lim _{x\to c}f(x)=L

၎င်းကို $x\to c$ ဖြစ်ချိန်တွင် $f(x)\to L$ ဟူ၍ မြား သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (arrow notation) ဖြင့်လည်း သင်္ကေတပြု ဖော်ပြနိုင်သည်။

ကိန်းစဉ်တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် (Limit of a Sequence)

$X$ ကို တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (topological space) တစ်ခုဟု သတ်မှတ်မည်။ အကယ်၍ $x_{0}$ ၏ အဖွင့်ပတ်ဝန်းကျင် (open neighborhood) $U$ တိုင်းအတွက် $n>N$ အားလုံး၌ $x_{n}\in U$ ဖြစ်စေမည့် သဘာဝကိန်း (natural number) $N$ တစ်ခု တည်ရှိခဲ့လျှင် ထို $X$ ရပ်ဝန်းအတွင်းရှိ ကိန်းစဉ် $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ သည် စုဆုံမှတ် $x_{0}\in X$ သို့ စုဆုံသည် (converge) ဟု ဆိုသည်။^[၂] ဟောက်စ်ဒေါ့ဖ် ရပ်ဝန်း (Hausdorff space) တစ်ခုတွင် ကိန်းစဉ်တစ်ခု၌ အများဆုံး စုဆုံမှတ် တစ်ခုတည်းသာ ရှိနိုင်သည်။

အကယ်၍ $X$ သည် အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (distance metric) $d$ ပါရှိသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (metric space) တစ်ခု ဖြစ်ပါက၊ ၎င်း၏ တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (topological definition) သည် ရှေးရိုးစဉ်လာ $\varepsilon -N$ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အဖြစ်သို့ ရောက်ရှိသွားသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ $\varepsilon >0$ တိုင်းအတွက် $n>N$ အားလုံး၌ $d(x_{n},x_{0})<\varepsilon$ ဖြစ်စေမည့် $N\in \mathbb {N}$ တစ်ခု တည်ရှိပါက $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x_{0}$ ဖြစ်သည်။

ကိန်းစစ်များ (real numbers) $\mathbb {R}$ ကဲ့သို့သော ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (complete metric space) များတွင် ကိန်းစဉ်တစ်ခုသည် ကော်ချီ ကိန်းစဉ် (Cauchy sequence) ဖြစ်မှသာလျှင် စုဆုံသော ကိန်းစဉ် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ စုဆုံမှတ် တစ်ခုတည်းသို့ မစုဆုံသော ကိန်းစစ် ကိန်းစဉ်များအတွက်မူ ၎င်း၏ ကိန်းစဉ်ပိုင်းများ၏ စုဆုံမှတ်များ (subsequential limits) ၏ အကန့်အသတ်ဘောင်များကို အထက် စုဆုံမှတ် (limit superior သို့မဟုတ် $\limsup$ ) နှင့် အောက် စုဆုံမှတ် (limit inferior သို့မဟုတ် $\liminf$ ) တို့ဖြင့် ဖော်ပြသည်။ $\mathbb {R}$ အတွင်းရှိ ကိန်းစဉ်တစ်ခုသည် ၎င်း၏ အထက် စုဆုံမှတ်နှင့် အောက် စုဆုံမှတ်တို့ ညီမျှပြီး အဆုံးရှိ (finite) မှသာလျှင် စုဆုံရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။

ဖန်ရှင် သို့မဟုတ် ပုံဖော်မှုတစ်ခု၏ စုဆုံမှတ် (Limit of a Function or Mapping)

$X$ နှင့် $Y$ တို့ကို တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်းများအဖြစ် သတ်မှတ်ပြီး $E\subset X$ ဟု ထားမည်။ ထို့ပြင် $c$ သည် $E$ ၏ စုဆောင်းမှတ် (limit point သို့မဟုတ် accumulation point) တစ်ခု ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်မည်။ $Y$ အတွင်းရှိ $L$ ၏ ပတ်ဝန်းကျင် (neighborhood) $V$ တိုင်းအတွက် အောက်ပါအခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီစေမည့် $X$ အတွင်းရှိ $c$ ၏ ပတ်ဝန်းကျင် $U$ တစ်ခု တည်ရှိခဲ့လျှင် အမှတ် $L\in Y$ သည် $x\to c$ ဖြစ်ချိန်၌ $f:E\to Y$ ဟူသော ပုံဖော်မှု (mapping) ၏ စုဆုံမှတ် ဖြစ်သည်။

$f(E\cap U\setminus \{c\})\subset V$

$X$ နှင့် $Y$ တို့သည် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများ ဖြစ်သောအခါ ဤသတ်မှတ်ချက်သည် ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် (Weierstrass) က ပုံစံတကျ ဖွဲ့စည်းထားသော စံ (standard) $(\varepsilon ,\delta )$ -အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ $\varepsilon >0$ တိုင်းအတွက် $0<d_{X}(x,c)<\delta$ ဖြစ်လျှင် $d_{Y}(f(x),L)<\varepsilon$ ဖြစ်စေမည့် $\delta >0$ တစ်ခု တည်ရှိသည်။^[၃]

$c$ ပါဝင်သော အရင်းအမြစ်စု (domain) တစ်ခုပေါ်တွင် သတ်မှတ်ထားသော ဖန်ရှင် $f$ တစ်ခုသည် $\lim _{x\to c}f(x)=f(c)$ ဖြစ်မှသာလျှင် $c$ ၌ အဆက်မပြတ်ဖြစ်သော (continuous) ဖန်ရှင်ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။ အရင်းအမြစ်စု $E$ ၏ ကန့်သတ်ချက်များ (restrictions) သည် သီးသန့်ဖြစ်သော စုဆုံမှတ်များကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကိန်းစစ် ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ အရင်းအမြစ်စုကို $x>c$ အဖြစ် ကန့်သတ်လိုက်ပါက ညာဘက်မှ စုဆုံမှတ် (right-handed limit) ကို ရရှိမည်ဖြစ်ပြီး ၎င်းကို $\lim _{x\to c^{+}}f(x)$ ဟု သင်္ကေတပြုသည်။

ကိန်းစဉ်အရ သတ်မှတ်ဖော်ပြခြင်း (Sequential Characterization)

ရေတွက်နိုင်မှုဆိုင်ရာ ပထမ နဂိုမှန်အဆို (first axiom of countability) နှင့် ကိုက်ညီသော ရပ်ဝန်းများတွင် ဖန်ရှင်တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ်ကို ကိန်းစဉ်များဖြင့်သာ အပြည့်အဝ သတ်မှတ်ဖော်ပြနိုင်သည်။ $\lim _{x\to c}f(x)=L$ ဟူသော စုဆုံမှတ် တည်ရှိရန်မှာ $c$ သို့ စုဆုံသည့် $E\setminus \{c\}$ အတွင်းရှိ ကိန်းစဉ် $(x_{n})$ တိုင်းအတွက် ပုံရိပ် ကိန်းစဉ်တန်း (image sequence) $f(x_{n})$ သည် $Y$ အတွင်းရှိ $L$ သို့ စုဆုံမှသာလျှင် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။

ဂုဏ်သတ္တိများ (Properties)

စုဆုံမှတ်များ တည်ရှိရာနေရာများတွင် ၎င်းတို့သည် မျဉ်းဖြောင့် အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ (linear algebraic operations) ကို ထိန်းသိမ်းထားသည်။ စကေလာတန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင်များ (scalar-valued functions) အတွက် $\lim _{x\to c}f(x)=L_{1}$ နှင့် $\lim _{x\to c}g(x)=L_{2}$ ဖြစ်ပါက အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။

ပေါင်းခြင်း သို့မဟုတ် ခြားနားခြင်း တွက်ချက်မှု (Sum/Difference) - $\lim _{x\to c}[f(x)\pm g(x)]=L_{1}\pm L_{2}$
မြှောက်လဒ် တွက်ချက်မှု (Product) - $\lim _{x\to c}[f(x)g(x)]=L_{1}L_{2}$
စားလဒ် တွက်ချက်မှု (Quotient) - $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}$ (ဤနေရာတွင် $L_{2}\neq 0$ ဖြစ်ရန် လိုအပ်သည်)

စုဆုံမှတ်များသည် တင်းကျပ်မှုမရှိသော မညီမျှခြင်းများ (non-strict inequalities) ကိုလည်း ထိန်းသိမ်းထားသည်။ အကယ်၍ $c$ အနီးတွင် $f(x)\leq g(x)$ ဖြစ်ပါက $\lim f(x)\leq \lim g(x)$ ဖြစ်သည်။ ယင်းအချက်သည် ညှစ်ခြင်း သီအိုရမ် (Squeeze Theorem သို့မဟုတ် Sandwich Theorem) ကို ဖြစ်ပေါ်စေသည်။

အနန္တ စုဆုံမှတ်များ (Infinite Limits) - ကိန်းစဉ်များ သို့မဟုတ် ဖန်ရှင်များသည် အကန့်အသတ်မရှိ (without bound) ကြီးမားလာသော အခြေအနေများ (ဥပမာ- $\lim _{x\to c}f(x)=\infty$ ) တွင်လည်း ဤအဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ကို တိုးချဲ့အသုံးပြုနိုင်သည်။ ယင်းသို့ တိုးချဲ့ရာတွင် တိုးချဲ့ထားသော ကိန်းစစ်မျဉ်း (extended real number line) ကဲ့သို့သော ကျစ်လျစ်ပြုခြင်း (compactification) မှတစ်ဆင့် အနန္တကို မှန်ကန်ခိုင်လုံသော တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ စုဆောင်းမှတ်အဖြစ် သတ်မှတ်ကိုင်တွယ်သည်။ ဤဆက်စပ်မှုအရ $\infty$ ၏ ပတ်ဝန်းကျင်များကို ကိန်းစစ် $M$ အတွက် အဖွင့် ရောင်ခြည်မျဉ်းများ (open rays) $(M,\infty )$ အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။

ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ (Category Theory)

ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ (category theory) တွင် အရာဝတ္ထုများကို စုဆုံမှတ်များမှတစ်ဆင့် ခန့်မှန်းတွက်ချက်ခြင်းဟူသော သဘောတရားကို ပုံကြမ်းများ (diagrams) အသုံးပြု၍ သရုပ်မဲ့ပြုလုပ်ထားသည်။ အညွှန်းတပ် ကတ်တဂိုရီ (index category) တစ်ခုမှ ပစ်မှတ် ကတ်တဂိုရီ (target category) ${\mathcal {C}}$ ဆီသို့ သွားသော ဖန်တာ (functor) တစ်ခုဖြစ်သည့် ပုံကြမ်းတစ်ခုပေးထားရာတွင် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။

စုဆုံမှတ် (limit) ဆိုသည်မှာ အဆိုပါပုံကြမ်းထံသို့ စကြဝဠာ ကတော့ပုံ (universal cone) အား ဝင်ရောက်ခွင့်ပြုသော အရာဝတ္ထုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ယင်းကို ပြောင်းပြန် စုဆုံမှတ် သို့မဟုတ် ပရိုဂျက်တစ် စုဆုံမှတ် (inverse/projective limit သို့မဟုတ် $\varprojlim$ ) ဟုလည်း ခေါ်သည်။ ၎င်းသည် ကာတီးရှန်း မြှောက်လဒ်များ (Cartesian products) နှင့် တိုပေါ်လော်ဂျီဆိုင်ရာ ရပ်ဝန်းပိုင်းများ (topological subspaces) ကဲ့သို့သော တည်ဆောက်ပုံများကို ယေဘုယျပြုထားသည်။
ဒွန်တွဲစုဆုံမှတ် (colimit) သည် ယင်း၏ ဒွန်တွဲ သဘောတရား (dual concept) ဖြစ်သည်။ ယင်းကို တိုက်ရိုက် စုဆုံမှတ် သို့မဟုတ် ဆင့်ကဲ စုဆုံမှတ် (direct/inductive limit သို့မဟုတ် $\varinjlim$ ) ဟုလည်း ခေါ်သည်။ ၎င်းသည် တိုက်ရိုက်ပေါင်းလဒ်များ (direct sums)၊ ဘုံမပါသော ပေါင်းစပ်စုများ (disjoint unions) နှင့် စားလဒ်ရပ်ဝန်းများ (quotient spaces) ကို ယေဘုယျပြုထားသည်။^[၄]

ကိုးကား

↑ Stewart၊ James (2008)၊ Calculus: Early Transcendentals (6th ed.)၊ Brooks/Cole၊ p. 68
↑ Kelley၊ John L. (1955)၊ General Topology၊ Van Nostrand၊ p. 125
↑ Il'in၊ V. A.; Poznyak၊ E. G. (1982)၊ Fundamentals of Mathematical Analysis၊ 1၊ Mir Publishers၊ p. 142
↑ Mitchell၊ Barry (1965)၊ Theory of Categories၊ Academic Press၊ p. 7

[1] Stewart၊ James (2008)၊ Calculus: Early Transcendentals (6th ed.)၊ Brooks/Cole၊ p. 68

[2] Kelley၊ John L. (1955)၊ General Topology၊ Van Nostrand၊ p. 125

[3] Il'in၊ V. A.; Poznyak၊ E. G. (1982)၊ Fundamentals of Mathematical Analysis၊ 1၊ Mir Publishers၊ p. 142

[4] Mitchell၊ Barry (1965)၊ Theory of Categories၊ Academic Press၊ p. 7

[၁]

[၂]

[၃]

[၄]