စားခြင်း (သင်္ချာ)

စားခြင်း (Division) သည် မြှောက်ခြင်း၏ (multiplication) အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ ပြောင်းပြန် ဖြစ်သော ဂဏန်းသင်္ချာ တွက်ချက်မှုတစ်ခု ဖြစ်သည်။ သင်္ချာသဘောတရားများအရ တည်ကိန်း (dividend) $a$ ကို သုညမဟုတ်သော စားကိန်း (divisor) $b$ ဖြင့်စားခြင်းမှရရှိသော စားလဒ်အား (quotient) $a/b$၊ $a:b$ သို့မဟုတ် ${\frac {a}{b}}$ ဟု သင်္ကေတပြုဖော်ပြသည်။ အဆိုပါ စားလဒ်အား $b\times y=a$ ညီမျှခြင်း၏ တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော အဖြေ $y$ အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။

အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Algebraic Definition)

အင်တီဂရယ် ဒိုမိန်း (integral domain) $R$ တစ်ခု ပေးထားရာတွင် အစုဝင်အတွဲများအားလုံးအတွက် စားခြင်းကို အမြဲတမ်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားခြင်း မရှိပေ။ စားခြင်းကို ပုံစံတကျ ဖြစ်အောင် ပြုလုပ်ရန်အတွက် $R$ ကို ၎င်း၏ အပိုင်းကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ် (field of fractions) $K$ သို့ တိုးချဲ့သည်။

ယင်းဖီးလ်ဒ်ကို အစု $R\times (R\setminus \{0\})$ အပေါ်တွင် ထပ်တူညီမှုဆက်သွယ်ချက် (equivalence relation) $\sim$ တစ်ခု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် တည်ဆောက်သည်။

$(a,b)\sim (a',b')\iff ab'=a'b$

စားလဒ်ဖီးလ်ဒ် (quotient field) အတွင်းရှိ $(a,b)$ အတွဲ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားကို (equivalence class) အပိုင်းကိန်း $a/b$ အဖြစ် သင်္ကေတပြုဖော်ပြသည်။ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ သုည အစုဝင်ဖြင့် စားခြင်းကို (division by zero) အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားခြင်း မရှိပေ။ အဘယ်ကြောင့်ဆိုသော် $a\neq 0$ ဖြစ်သောအခါ $0\times y=a$ ညီမျှခြင်းအတွက် အဖြေမရှိနိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ ထို့ပြင် $a=0$ ဖြစ်သောအခါ ယင်းညီမျှခြင်းအတွက် အဆုံးမဲ့ များပြားသော အဖြေများ ရှိနေပြီး အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်၍မရသော ပုံစံကို (undefined form) ဖြစ်ပေါ်စေသောကြောင့် ဖြစ်သည်။

ယေဘုယျ ဖီးလ်ဒ်တစ်ခုအပေါ်ရှိ တွက်ချက်မှုတစ်ခုအနေဖြင့် စားခြင်းသည် ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ (commutative property) ($a/b\neq b/a$) မပြည့်စုံသည့်အပြင် ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associative property) ($a/(b/c)\neq (a/b)/c$) လည်း မပြည့်စုံပေ။

တိုးချဲ့ချက်များ (Extensions)

ကိန်းထွေး စားခြင်း (Complex Division)

$z_{2}\neq 0$ ဖြစ်သော $z_{1},z_{2}\in \mathbb {C}$ များ ရှိသည်ဟု ဆိုပါစို့။ စားခြင်း $x=z_{1}/z_{2}$ ကို $x\times z_{2}=z_{1}$ ဟူသော ဆက်သွယ်ချက်ဖြင့် တစ်ခုတည်းသီးသန့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။

• ဝင်ရိုးစွန်း ပုံစံ (Polar form) - $z_{1}=r_{1}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta _{1}}$ နှင့် $z_{2}=r_{2}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta _{2}}$ ဟု ပေးထားပါက စားလဒ်မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။
• ${\frac {r_{1}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta _{1}}}{r_{2}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \theta _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\theta _{1}-\theta _{2})}$

• ကာတီးရှန်း ပုံစံ (Cartesian form) - $z_{1}=a+b\mathrm {i}$ နှင့် $z_{2}=c+d\mathrm {i}$ ဟု ပေးထားသည် ဆိုပါစို့။ ပိုင်းခြေ၏ ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်မှာ (complex conjugate) ${\bar {z}}_{2}=c-d\mathrm {i}$ ဖြစ်သည်။ အဆိုပါ ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်ဖြင့် ပိုင်းဝေ (numerator) နှင့် ပိုင်းခြေ (denominator) နှစ်ခုလုံးကို မြှောက်ပါက အောက်ပါရလဒ်ကို ရရှိမည်ဖြစ်သည်။
• ${\frac {a+b\mathrm {i} }{c+d\mathrm {i} }}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}\mathrm {i}$

ကိန်းအုံ စားခြင်း (Matrix Division)

ယေဘုယျအားဖြင့် ကိန်းအုံမြှောက်ခြင်းသည် (matrix multiplication) ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ မပြည့်စုံပေ။ ထို့ကြောင့် သင့်လျော်သော ကိန်းအုံ အတိုင်းအတာများ ရှိသည်ဟု ယူဆပါက ယေဘုယျ မျဉ်းဖြောင့်အုပ်စု (general linear group) $GL(n,F)$ အပေါ်ရှိ စားခြင်းသည် သီးခြားကွဲပြားသော တွက်ချက်မှု နှစ်ခုအဖြစ် ကွဲထွက်သွားသည်။

• ညာစားခြင်း (Right division) - ဆက်သွယ်ချက်မှာ $X=A/B\iff XB=A$ ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ $B$ သည် ဆင်ဂူလာမဟုတ်သော ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော စတုရန်းကိန်းအုံတစ်ခု (non-singular invertible square matrix) ဖြစ်ပါက အဖြေမှာ $X=AB^{-1}$ ဖြစ်သည်။
• ဘယ်စားခြင်း (Left division) - ဆက်သွယ်ချက်မှာ $X=A\backslash B\iff AX=B$ ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ $A$ သည် ဆင်ဂူလာမဟုတ်သော ကိန်းအုံတစ်ခု (non-singular matrix) ဖြစ်ပါက အဖြေမှာ $X=A^{-1}B$ ဖြစ်သည်။

ပိုလီနိုမီရယ် စားခြင်း (Polynomial Division)

ဖီးလ်ဒ် $F$ တစ်ခုအပေါ် အခြေခံထားသော ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (polynomial ring) $F[x]$ ရှိ စားခြင်းသည် ပိုလီနိုမီရယ် စားခြင်း အဆင့်ဆင့်တွက်နည်းကို (polynomial division algorithm) လိုက်နာသည်။ ဤအဆင့်ဆင့်တွက်နည်းသည် ယူကလစ်ဒ် စားခြင်းကို (Euclidean division) တိုးချဲ့ထားခြင်း ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ပိုလီနိုမီရယ် $a$ နှင့် သုညမဟုတ်သော $b$ မဆိုအတွက် တစ်ခုတည်းသီးသန့်ဖြစ်သော စားလဒ် (quotient) ပိုလီနိုမီရယ် $q$ နှင့် အကြွင်း (remainder) ပိုလီနိုမီရယ် $r$ တို့ တည်ရှိပြီး အောက်ပါဆက်သွယ်ချက်ကို ပြည့်စုံစေသည်။

• $a=b\times q+r$

၎င်းတို့သည် $\deg(r)<\deg(b)$ သို့မဟုတ် $r=0$ ဟူသော ဒီဂရီဆိုင်ရာ အခြေအနေတစ်ခုအောက်တွင် တည်ရှိနေခြင်း ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ $r=0$ ဖြစ်ပါက $b$ သည် $a$ ကို ပြတ်သားစွာ စားနိုင်သည်ဟု ဆိုသည်။