ဂရိုသန်ဒိခ် စကြဝဠာ

'''အစုသီအိုရီ''' (set theory) တွင် '''ဂရိုသန်ဒိခ် စကြဝဠာ''' (Grothendieck universe) ဆိုသည်မှာ အစုများဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော အစု $U$ တစ်ခုဖြစ်ပြီး $U$ ၏ အစုဝင်များအပေါ်တွင် ပုံမှန် အစုဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများ (set operations) ပြုလုပ်သောအခါ ရလဒ်များသည် $U$ ပြင်ပသို့ ရောက်ရှိမသွားပေ။ အလက်ဇန္ဒား ဂရိုသန်ဒိခ် အားအစွဲပြု၍ ဂရိုသန်ဒိခ် စကြဝဠာဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ၎င်းသည် ဇာမီလို-ဖရန်ကယ် အစုသီအိုရီ (Zermelo-Fraenkel set theory) ၏ မော်ဒယ် (model) တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းအတွင်းရှိ အစုဝင်ဖြစ်မှု ဆက်သွယ်ချက် (membership relation) နှင့် ပါဝါအစု ဖွဲ့စည်းခြင်း (power set formation) ကဲ့သို့သော အစုသီအိုရီဆိုင်ရာ တွက်ချက်မှုများသည် ဇာမီလို-ဖရန်ကယ် အစုသီအိုရီတွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည့်အတိုင်း ထပ်တူညီသည်။

မည်သည့်အစုမဆို ဂရိုသန်ဒိခ် စကြဝဠာတစ်ခု၏ အစုဝင် (element) ဖြစ်သည်ဟု သတ်မှတ်သည့် '''စကြဝဠာ နဂိုမှန်အဆို''' (universe axiom) ကို ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီ (category theory) နှင့် အက္ခရာသင်္ချာ ဂျီဩမေတြီ (algebraic geometry) တို့တွင် အသုံးပြုပြီး ၎င်းသည် ဇာမီလို-ဖရန်ကယ် အစုသီအိုရီကို တာစကီး-ဂရိုသန်ဒိခ် အစုသီအိုရီ (Tarski-Grothendieck set theory) အဖြစ်သို့ တိုးချဲ့ပေးသည်။

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition)

အစု (set) $U$ တစ်ခုသည် အောက်ဖော်ပြပါ နဂိုမှန်အဆိုများ (axioms) ကို ပြည့်စုံစေပါက ၎င်းကို ဂရိုသန်ဒိခ် စကြဝဠာ ဟု ခေါ်သည်-

• $x\in U\Longrightarrow x\subseteq U$ : $x$ သည် $U$ ၏ အစုဝင်ဖြစ်ပါက $x$ ၏ အစုဝင်များအားလုံးသည်လည်း $U$ ၏ အစုဝင်များ ဖြစ်ကြရမည်။ (ကူးပြောင်းနိုင်သော ဂုဏ်သတ္တိ - transitivity)

• $x\in U\Longrightarrow {\mathcal {P}}(x)\in U$ : $x$ သည် $U$ ၏ အစုဝင်ဖြစ်ပါက $x$ ၏ ပါဝါအစုသည်လည်း $U$ ၏ အစုဝင်ဖြစ်ရမည်။ ထို့ကြောင့် ယခင်အချက်အရ $x$ ၏ အစုပိုင်းများ (subsets) အားလုံးသည်လည်း $U$ တွင် ပါဝင်ရမည်။

• $x\in U\Longrightarrow \left\{x\right\}\in U$ : $x$ သည် $U$ ၏ အစုဝင်ဖြစ်ပါက အစုဝင်တစ်ခုတည်းပါဝင်သောအစု (singleton set) $\{x\}$ သည်လည်း $U$ ၏ အစုဝင်ဖြစ်ရမည်။

• $I\in U$ နှင့် မည်သည့် $i\in I$ အတွက်မဆို $x_{i}\in U$ ဖြစ်သော မိသားစု $\left\{x_{i}\right\}_{i\in I}$ တိုင်းအတွက် $\bigcup \left\{x_{i}:i\in I\right\}\in U$ ဖြစ်ရမည်။ အဓိပ္ပာယ်မှာ $U$ ၏ အစုဝင်များကို ပေါင်းစပ်စု (union) ပြုလုပ်ပါက $U$ ၏ အစုဝင်များသာ ပြန်လည်ရရှိမည် ဖြစ်သည်။

• $U$ သည် ဗလာအစု (empty set) မဟုတ်ရပေ။

တစ်ခါတစ်ရံတွင် ဗလာအစုကိုလည်း ဂရိုသန်ဒိခ်-စကြဝဠာတစ်ခုအဖြစ် လက်ခံလေ့ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် SGA တွင် ဖြစ်သည်။

အခြားနည်းဖြင့် ဆိုရသော် ဂရိုသန်ဒိခ် စကြဝဠာ ဆိုသည်မှာ ပုံစံ $(U,\in )$ ရှိသော အဆင့်နှစ်ဆင့်ပါ ZFC (second-order ZFC) ၏ မော်ဒယ်တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ အစားထိုးခြင်း နဂိုမှန်အဆို ပုံစံ (axiom schema of replacement) အား ဖန်ရှင်များအပေါ် အတန်းအစားခွဲခြားမှု ပါဝင်သည့် ဒုတိယအဆင့် ယုတ္တိဗေဒ (second-order logic) ရှိ နဂိုမှန်အဆိုတစ်ခုတည်းဖြင့် အစားထိုးထားခြင်းဖြစ်သည်။

ရောက်ရှိရန်မဖြစ်နိုင်သော ကာဒီနယ်ကိန်းများ (Inaccessible Cardinal Numbers)

အောက်ပါအချက်များနှင့် ကိုက်ညီပါက ကာဒီနယ်ကိန်း (cardinal number) $\kappa$ တစ်ခုကို အားကောင်းစွာ ရောက်ရှိရန်မဖြစ်နိုင်သော (strongly inaccessible) ကာဒီနယ်ကိန်းဟု ခေါ်သည်။

• $\,\mathrm {card} (I)<\kappa$ နှင့် မည်သည့် $i\in I$ အတွက်မဆို $\mathrm {card} (x_{i})<\kappa$ ဖြစ်သော အစုများဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည့် $\left\{x_{i}\right\}_{i\in I}$ တိုင်းအတွက်$\mathrm {card} \left(\cup \left\{x_{i}:i\in I\right\}\right)<\kappa$ ဖြစ်ရမည်။

• မည်သည့် $\alpha ,\beta <\kappa$ အတွက်မဆို $\alpha ^{\beta }<\kappa$ ဖြစ်ရမည်။

ဇာမီလို-ဖရန်ကယ် အစုသီအိုရီ (Zermelo-Fraenkel set theory, ZFC) တွင် တစ်ခုတည်းသော ရောက်ရှိရန်မဖြစ်နိုင်သော ကာဒီနယ်ကိန်းမှာ $\aleph _{0}$ ဖြစ်သည်။ အခြားသော ရောက်ရှိရန်မဖြစ်နိုင်သော ကာဒီနယ်ကိန်းများ တည်ရှိမှုကို သီအိုရီ၏ ရှေ့နောက်ညီညွတ်မှုကို ယူဆထားလျှင် ဤသီအိုရီဘောင်အတွင်းမှ သက်သေပြ၍ မရနိုင်ပေ။ ၎င်းတို့တည်ရှိမှုကို နဂိုမှန်အဆို (axiom) အသစ်တစ်ခုဖြင့် အဆိုပြုရမည်။

ရောက်ရှိရန်မဖြစ်နိုင်သော ကာဒီနယ်ကိန်းများနှင့် ဂရိုသန်ဒိခ် စကြဝဠာများ (Grothendieck universes) ကြားရှိ ဆက်သွယ်ချက်ကို အောက်ပါ သီအိုရမ် (theorem) ဖြင့် ဖော်ပြနိုင်သည်။

အစု $U$ တစ်ခုအတွက် အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများသည် အချင်းချင်း ညီမျှသည် (equivalent) ။

• $U$ သည် ဂရိုသန်ဒိခ် စကြဝဠာ တစ်ခုဖြစ်သည်။

• ရောက်ရှိရန်မဖြစ်နိုင်သော ကာဒီနယ်ကိန်း $\kappa$ တစ်ခု တည်ရှိပြီး ၎င်းအတွက် အောက်ဖော်ပြပါ အချင်းချင်း ညီမျှသော ဂုဏ်သတ္တိများအနက်မှ တစ်ခု သို့မဟုတ် အားလုံး ပြည့်စုံမှန်ကန်သည်။
  • $\kappa \subseteq U$ ဖြစ်ပြီး မည်သည့် အစု $X\subseteq U$ တိုင်းအတွက်မဆို $X\in U\Longleftrightarrow \mathrm {card} (X)<\kappa$ ဖြစ်သည်။
  • $U=V_{\kappa }$
  • $U=H_{\kappa }=\{x\mid \mathrm {card} (TC(x))<\kappa \}$

ဤ $\kappa$ သည် $U$ ၏ အစုအရွယ်အစား (cardinality) ပင်ဖြစ်သည်။

ယေဘုယျအားဖြင့် ဂရိုသန်ဒိခ် စကြဝဠာများ တည်ရှိမှုကို ZFC အစုသီအိုရီဘောင်အတွင်းမှ သက်သေပြ၍ မရနိုင်ပေ။ ချွင်းချက်အနေဖြင့် $\mathrm {card} (U)=\aleph _{0}=\mathrm {card} (\mathbb {N} )$ ဖြစ်သော စကြဝဠာများကို သက်သေပြနိုင်သော်လည်း ၎င်းတို့တွင် အဆုံးရှိသောအစုများသာ ပါဝင်သောကြောင့် စိတ်ဝင်စားဖွယ် အဖြစ် မသတ်မှတ်ကြပါ။

ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် အသုံးပြုခြင်း

ရောက်ရှိရန်မဖြစ်နိုင်သော ကာဒီနယ်ကိန်းများ၏ အတန်းအစားအစစ် (proper class) တစ်ခု တည်ရှိသည်ဟု ယူဆခြင်းအားဖြင့် ကတ်တဂိုရီ သီအိုရီတွင် ဂရိုသန်ဒိခ် စကြဝဠာများကို အသုံးပြုကာ အစုများအားလုံးနှင့်ပတ်သက်သော အဆိုများကို ပြုလုပ်နိုင်သည်။

ရောက်ရှိရန်မဖြစ်နိုင်သော ကာဒီနယ်ကိန်းတစ်ခုစီတိုင်းအတွက် ဂရိုသန်ဒိခ် စကြဝဠာတစ်ခုကို တွဲဖက်သတ်မှတ်ပေးရန် ဖြစ်နိုင်သည်။ အစုများအားလုံးနှင့်ပတ်သက်သော အဆိုကို ပြုလုပ်နိုင်ရန်အတွက် အစုတစ်ခုစီတိုင်းတွင် သက်ဆိုင်ရာ ရောက်ရှိရန်မဖြစ်နိုင်သော ကာဒီနယ်ကိန်းတစ်ခု လိုအပ်ပြီး ၎င်းသည် အဆိုပါအစု၏ အစုအရွယ်အစား (cardinality) ထက် အမှန်တကယ် ပိုကြီးရမည်ဖြစ်သည်။ သို့မှသာလျှင် သင့်လျော်သော ဂရိုသန်ဒိခ် စကြဝဠာတစ်ခု တည်ရှိမည်ဖြစ်ပြီး ၎င်းအတွင်းတွင် အလိုရှိသော တည်ဆောက်မှုများကို ပြုလုပ်နိုင်မည်ဖြစ်သည်။

ကိုးကား

Andreas Blass: The interaction between Category theory and Set theory. In: John Walker Gray (Hrsg.): Mathematical Applications of Category Theory (= Contemporary Mathematics. Bd. 30). American Mathematical Society, Providence RI 1984, ISBN 0-8218-5032-6, S. 5–29, online (PDF; 3,6 MB).

N. Bourbaki: Univers. Anhang zu Exposé I von M. Artin, A. Grothendieck, J. L. Verdier (Hrsg.): Théorie des Topos et Cohomologie Étale des Schémas (SGA 4). 2. Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg 1972, ISBN 3-540-05896-6.

N. H. Williams: On Grothendieck universes. In: Compositio Mathematica. Bd. 21, Nr. 1, ISSN 0010-437X, 1969, S. 1–3, online (PDF; 261 kB).

A. H. Kruse: Grothendieck universes and the super-complete models of Shepherdson. In: Compositio Mathematica. Bd. 17, 1965/1966, S. 96–101, online (PDF; 550 kB).

P. Gabriel: Des catégories abéliennes. In: Bulletin de la Société Mathématique de France. Bd. 90, 1962, ISSN 0037-9484, S. 323–448, online (PDF; 10,45 MB).

M. Kühnrich: Über den Begriff des Universums. In: Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik. Bd. 12, 1966, ISSN 0044-3050, S. 37–59.

Michael D. Potter: Sets. An Introduction. Clarendon Press, Oxford u. a. 1990, ISBN 0-19-853388-8, 3.3