ကြယ်ပွင့်-အက္ခရာသင်္ချာ

ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (abstract algebra) တွင် $*$-အက္ခရာသင်္ချာ သို့မဟုတ် ကိုယ်ပြန်လှန် အက္ခရာသင်္ချာ (involutive algebra) သည် အခြေခံ ကိုယ်ပြန်လှန်ကွင်း (involutive ring) $R$ နှင့် ၎င်းအပေါ်တွင် တည်ဆောက်ထားသော $A$ တို့ ပါဝင်ဖွဲ့စည်းထားသည့် သင်္ချာတည်ဆောက်ပုံတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ကြယ်ပွင့်-အက္ခရာသင်္ချာ ဟု ဖတ်သည်။ ဤတွင် $R$ သည် ဖလှယ်ရကွင်း (commutative ring) ဖြစ်ပြီး $A$ သည် $R$ အပေါ်ရှိ ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (associative algebra) တည်ဆောက်ပုံ တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ကိုယ်ပြန်လှန် အက္ခရာသင်္ချာများသည် ကွန်ဂျူဂိတ် (conjugation) ပါရှိသော ကိန်းစနစ်တစ်ခု၏ အယူအဆကို ယေဘုယျပြုထားခြင်း ဖြစ်သည်။ ကိန်းထွေးများ (complex numbers) နှင့် ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ် (complex conjugation)၊ ကိန်းထွေးများ အပေါ်ရှိ ကိန်းအုံများ (matrices) နှင့် ကွန်ဂျူဂိတ် ထရန်စပို့စ် (conjugate transpose) အပြင် ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း (Hilbert space) တစ်ခုအပေါ်ရှိ မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများ (linear operators) နှင့် ဟာမီရှန် အက်ဂျွိုင့်များ (Hermitian adjoints) သည် ဥပမာများ ဖြစ်သည်။ သို့သော်လည်း အချို့သော အက္ခရာသင်္ချာများတွင် မည်သည့် ကိုယ်ပြန်လှန် မျှ မရှိသည်မျိုးလည်း ဖြစ်နိုင်သည်။

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်များ

*-ကွင်း

*-ကွင်း (ကြယ်ပွင့်-ကွင်း) ဆိုသည်မှာ အန်တီအော်တိုမော်ဖစ်ဇင် (antiautomorphism) နှင့် ကိုယ်ပြန်လှန် (involution) တစ်ခုဖြစ်သော ပုံဖော်မှု $*:A\to A$ ပါရှိသည့် ကွင်း(ring) တစ်ခုဖြစ်သည်။

ပိုမိုတိကျစွာဆိုရလျှင် $A$ အတွင်းရှိ မည်သည့် $x,y$ အတွက်မဆို $*$ သည် အောက်ပါ ဂုဏ်သတ္တိများနှင့် ပြည့်စုံရန် လိုအပ်သည်-

• $(x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}$
• $(xy)^{*}=y^{*}x^{*}$
• $1^{*}=1$
• $(x^{*})^{*}=x$

၎င်းကို ကိုယ်ပြန်လှန် ကွင်း (involutive ring/ involutory ring) နှင့် ကိုယ်ပြန်လှန်ပါရှိသော ကွင်း (ring with involution) ဟုလည်း ခေါ်ဆိုသည်။ တတိယမြောက် နဂိုမှန်အဆိုကို ဒုတိယနှင့် စတုတ္ထမြောက် နဂိုမှန်အဆိုများမှတဆင့် ဆင်းသက်ရယူနိုင်သည်။

• $x^{*}=x$ ဖြစ်သော အစုဝင်များကို ကိုယ်တိုင်-အက်ဂျွိုင့် (self-adjoint) ဟု ခေါ်သည်။

*-ကွင်း (ကြယ်ပွင့်-ကွင်း) တစ်ခု၏ စံပြဥပမာများမှာ ကိုယ်ပြန်လှန် အဖြစ် ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ် (complex conjugation) ပါရှိသော ကိန်းထွေးများ (complex numbers) ၏ ဖီးလ်ဒ် (field) နှင့် ကိန်းရင်းများ (algebraic numbers) ၏ ဖီးလ်ဒ်များပင် ဖြစ်သည်။ မည်သည့် *-ကွင်း အပေါ်တွင်မဆို ဆက်ကွီလီနီယာ ဖောင် (sesquilinear form) တစ်ခုကို သတ်မှတ်နိုင်သည်။

$*$-အက္ခရာသင်္ချာ

$*$-အက္ခရာသင်္ချာ (ကြယ်ပွင့်-အက္ခရာသင်္ချာ) $A$ ဆိုသည်မှာ ကိုယ်ပြန်လှန် $'$ ပါရှိသော ဖလှယ်ရ ကွင်း (commutative ring) ဖြစ်သည့် $*$-ကွင်း $R$ အပေါ်တွင် တည်ဆောက်ထားသည့် ဖက်စပ်ရ အက္ခရာသင်္ချာ (associative algebra) တစ်ခုဖြစ်ပြီး $(rx)^{*}=r'x^{*}\forall r\in R,x\in A$ ဖြစ်စေမည့် ကိုယ်ပြန်လှန် $*$ ပါရှိသော $*$-ကွင်း တစ်ခုဖြစ်သည်။

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အများစုတွင် $*$-အက္ခရာသင်္ချာတစ်ခု၌ မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ယူနစ် (unity) ပါရှိရန် မလိုအပ်ပါ။

အခြေခံ $*$-ကွင်း $R$ သည် အများအားဖြင့် ကိန်းထွေးကို အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။ ဤတွင် $'$ သည် ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ် အဖြစ် လုပ်ဆောင်သည်။

နဂိုမှန်အဆိုများအရ $A$ အပေါ်ရှိ $*$သည် $R$ တွင် ကွန်ဂျူဂိတ်-မျဉ်းဖြောင့် (conjugate-linear) ဖြစ်သည်ကို တွေ့ရသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ $\lambda ,\mu \in R$ နှင့် $x,y\in A$ အတွက်

$(\lambda x+\mu y)^{*}=\lambda 'x^{*}+\mu 'y^{*}$ ဖြစ်သည်။

$*$-ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် $f:A\to B$ သည်$A$ နှင့် $B$ တို့၏ ကိုယ်ပြန်လှန်များနှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသော အက္ခရာသင်္ချာ ဟိုမိုမော်ဖစ်ဇင် (algebra homomorphism) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ဆိုလိုသည်မှာ $A$ အတွင်းရှိ မည်သည့် $a$ အတွက်မဆို $f(a^{*})=f(a)^{*}$ ဖြစ်သည်။

ဥပမာများ

• မည်သည့် ဖလှယ်ရ ကွင်း (commutative ring) မဆိုသည် အသေးအဖွဲ/ထပ်တူရ ကိုယ်ပြန်လှန် (trivial/ identical involution) ဖြင့် $*$-ကွင်း တစ်ခု ဖြစ်လာသည်။
• ကိန်းစစ်များ (reals) အပေါ်ရှိ $*$-ကွင်း နှင့် $*$-အက္ခရာသင်္ချာ တစ်ခု၏ ဥပမာမှာ $*$ သည် ကိန်းထွေး ကွန်ဂျူဂိတ်သာဖြစ်သော ကိန်းထွေးဖီးလ်ဒ် $\mathbb {C}$ ပင်ဖြစ်သည်။
• ကိန်းတေး ယူနစ် (imaginary unit) ကဲ့သို့သော နှစ်ထပ်ကိန်းရင်း (square root) တစ်ခုကို တွဲဖက်ပေါင်းစပ်ခြင်း (adjunction) ဖြင့် ပြုလုပ်ထားသော ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (field extension) တစ်ခုသည် မူလဖီးလ်ဒ်အပေါ်ရှိ $*$-အက္ခရာသင်္ချာ တစ်ခုဖြစ်ပြီး ၎င်းကို အသေးအဖွဲ-$*$-ကွင်း (trivially-$*$-ring) တစ်ခုအဖြစ် ယူဆသည်။ $*$ သည် ထိုနှစ်ထပ်ကိန်းရင်း၏ လက္ခဏာကို ပြောင်းပြန်လှန်သည်။
• ထရန်စပို့စ် (transposition) ဖြင့် $*$ ပါရှိသည့် $\mathbb {R}$ အပေါ်ရှိ $n\times n$ ကိန်းအုံများ၏ ကိန်းအုံ အက္ခရာသင်္ချာ (matrix algebra)။
• ကွန်ဂျူဂိတ် ထရန်စပို့စ် (conjugate transpose) ဖြင့် $*$ ပါရှိသည့် $\mathbb {C}$ အပေါ်ရှိ $n\times n$ ကိန်းအုံများ၏ ကိန်းအုံ အက္ခရာသင်္ချာ။
• ဟီလ်ဘတ် ရပ်ဝန်း (Hilbert space) တစ်ခုပေါ်ရှိ အကန့်အသတ်ရှိသော မျဉ်းဖြောင့် အော်ပရေတာများ (bounded linear operators) ၏ အက္ခရာသင်္ချာအတွင်းရှိ ဟာမီရှန် အက်ဂျွိုင့် သည်လည်း $*$-အက္ခရာသင်္ချာတစ်ခုဖြစ်သည်။
• အသေးအဖွဲ-$*$-ကွင်းဖြစ်သော ဖလှယ်ရကွင်း $R$ အပေါ်ရှိ ပိုလီနိုမီရယ် ကွင်း (polynomial ring)$R[x]$ သည် $P^{*}(x)=P(-x)$ ပါရှိသော $R$ အပေါ်ရှိ $*$-အက္ခရာသင်္ချာတစ်ခု ဖြစ်သည်။
• အကယ်၍ $(A,+,\times ,*)$ သည် $*$-ကွင်း တစ်ခုလည်းဖြစ် (ဖလှယ်ရသော) $R$ ကွင်းအပေါ်ရှိ အက္ခရာသင်္ချာ တစ်ခုလည်းဖြစ်ကာ $\forall r\in R,x\in A$ အတွက်$(rx)^{*}=r(x^{*})$ လည်း ဖြစ်သည်ဆိုပါက $A$ သည် $R$ အပေါ်ရှိ $*$-အက္ခရာသင်္ချာ တစ်ခုဖြစ်သည်။ ($*$ သည် အသေးအဖွဲ ဖြစ်သည်)။
• မည်သည့် $*$-ကွင်း မဆိုသည် ကိန်းပြည့်များ (integers) အပေါ်ရှိ $*$-အက္ခရာသင်္ချာ တစ်ခုဖြစ်သည်။
• မည်သည့် ဖလှယ်ရ $*$-ကွင်း မဆိုသည် ၎င်းကိုယ်တိုင်အပေါ်ရှိ $*$-အက္ခရာသင်္ချာ တစ်ခုဖြစ်သည်။
• ဖလှယ်ရ $*$-ကွင်း $R$ တစ်ခုအတွက် ၎င်း၏ မည်သည့် $*$-အိုင်ဒီးလ် ဖြင့်မဆို စားထားသော ၎င်း၏ စားလဒ်ကွင်း (quotient ring) သည် $R$ အပေါ်ရှိ $*$-အက္ခရာသင်္ချာတစ်ခု ဖြစ်သည်။
• အုပ်စု ဟော့ဖ် အက္ခရာသင်္ချာ (group Hopf algebra)- $g\mapsto g^{-1}$ ဖြင့် ပေးထားသော ကိုယ်ပြန်လှန်ပါရှိသည့် အုပ်စု ကွင်း (group ring) တစ်ခု။