ကော်ချီ ကိန်းစဉ်

ကော်ချီ ကိန်းစဉ် (Cauchy sequence) ဥပမာ - ကိန်းစဉ် ဆက်လက်ဖြစ်ပေါ်လာသည်နှင့်အမျှ ၎င်း၏ အစုဝင်များကြားရှိ အကွာအဝေးသည် အလိုရှိသလောက် သေးငယ်သွားသည်။

ကော်ချီ ကိန်းစဉ် မဟုတ်သော ကိန်းစဉ် ဥပမာ - ကိန်းစဉ် ဆက်လက်ဖြစ်ပေါ်လာသည်နှင့်အမျှ ၎င်း၏ အစုဝင်များကြားရှိ အကွာအဝေးသည် အလိုရှိသလောက် သေးငယ်မသွားပေ။

သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် ကော်ချီ ကိန်းစဉ် (Cauchy sequence) ဆိုသည်မှာ ကိန်းစဉ် ဆက်လက်ဖြစ်ပေါ်လာသည်နှင့်အမျှ ၎င်း၏ အစုဝင်များ (elements) ကြားရှိ အကွာအဝေး (distance) သည် အလိုရှိသလောက် (arbitrarily) သေးငယ်သွားသော ကိန်းစဉ် (sequence) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များကို ပြင်သစ် သင်္ချာပညာရှင် အောဂတ်စတင်-လူးဝစ် ကော်ချီ (Augustin-Louis Cauchy) အား အစွဲပြု၍ မှည့်ခေါ်ထားခြင်းဖြစ်ပြီး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (analysis) တည်ဆောက်မှုအတွက် အခြေခံကျ အရေးပါသည်။

ကိန်းစစ် (real numbers) များပါဝင်သော ကော်ချီ ကိန်းစဉ်တစ်ခုသည် အမြဲတမ်း စုဆုံ (converge) ပြီး ၎င်း၏ စုဆုံမှတ် (limit) အဖြစ် ကိန်းစစ်တစ်ခုရှိသည်။ သို့သော် ရာရှင်နယ်ကိန်း (rational numbers) များပါဝင်သော ကော်ချီ ကိန်းစဉ်တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ်သည် အီရာရှင်နယ်ကိန်း (irrational number) လည်း ဖြစ်နိုင်သည်။ ထို့ကြောင့် ကိန်းစစ်များသည် ပြည့်စုံသော ရပ်ဝန်း (complete space) တစ်ခုဖြစ်သည်။ ကိန်းစစ်များသည် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (metric space) တစ်ခုကို ဖွဲ့စည်းထားပြီး အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းတစ်ခုအတွင်းရှိ ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များအားလုံး စုဆုံမှသာလျှင် ထိုရပ်ဝန်းကို ပြည့်စုံသည်ဟု အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။

ကိန်းများ၏ ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များ

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်

ကိန်းစစ်များ ပါဝင်သော ကိန်းစဉ် $(a_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ တစ်ခုသည် မည်သည့် $\varepsilon >0$ အတွက်မဆို အညွှန်းကိန်း(index) $N$ တစ်ခု ရှိနေပြီး ထိုအညွှန်းကိန်းမှစ၍ ကိန်းစဉ်၏ အစုဝင်များအားလုံး တစ်ခုနှင့်တစ်ခု အကွာအဝေး $\varepsilon$ ထက် နည်းပါက ၎င်းကို ကော်ချီ ကိန်းစဉ် (Cauchy sequence) ဟု ခေါ်သည်။ ပုံစံတကျ (formal) အားဖြင့် ဤအခြေအနေကို အောက်ပါအတိုင်း ရေးသားနိုင်သည်-

$\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall m,n\geq N\colon \quad \left|a_{m}-a_{n}\right|<\varepsilon$

ဤတွင် $|\cdot |$ သည် ကိန်းတစ်ခု၏ ပကတိတန်ဖိုး (absolute value) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။

မှတ်ချက်များ

• အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်တွင် $\geq N$ အစား $>N$ ဖြင့်လည်းကောင်း၊ $<\varepsilon$ အစား $\leq \varepsilon$ ဖြင့်လည်းကောင်း အစားထိုး အသုံးပြုနိုင်သည်။

• ဤအဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်နှင့် တူညီစွာ မည်မျှပင် သေးငယ်သော အပေါင်းကိန်း $\varepsilon$ အတွက်မဆို ကိန်းစဉ်၏ အစုဝင်အားလုံးနီးပါး(almost all) ပါဝင်နေမည့် အလျား $2\varepsilon$ ရှိသော ကြားပိုင်း (interval) တစ်ခု ရှိသည်ဟုလည်း သတ်မှတ်နိုင်သည်။

ဥပမာများ

• ကိန်းစဉ် $a_{i}={\tfrac {1}{i}}$ သည် ကော်ချီ ကိန်းစဉ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။ အကြောင်းမှာ မည်မျှပင် သတ်မှတ်ပေးထားသော $\varepsilon >0$ အတွက်မဆို $N>{\tfrac {1}{\varepsilon }}$ ကို ပြည့်စုံစေမည့် $N$ တစ်ခုကို ရွေးချယ်နိုင်သောကြောင့် ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ မည်သည့် $n\geq m>N$ ကိုမဆို ရွေးချယ်လိုက်ပါက အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်မည်။

$|a_{m}-a_{n}|=\left|{\frac {1}{m}}-{\frac {1}{n}}\right|=\left|{\frac {n-m}{mn}}\right|<{\frac {n}{mn}}={\frac {1}{m}}<{\frac {1}{N}}<\varepsilon$.

• ကိန်းစဉ် $a_{i}=i$ သည် ကော်ချီ ကိန်းစဉ် မဟုတ်ပေ။ ၎င်းအတွက် $\varepsilon ={\tfrac {1}{2}}$ ဟု ရွေးချယ်ပြီး $N$ ကို မည်သည့် သဘာဝကိန်း (natural number) အဖြစ်မဆို ထားရှိပါစို့။ ထိုအခါ $n=N+1$ နှင့် $m=n+1$ ကို ရွေးချယ်နိုင်ပြီး အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်မည်။

$|a_{m}-a_{n}|=|m-n|=1\geq \varepsilon$.

ပြည့်စုံမှု (Completeness)

ရာရှင်နယ်ကိန်းများ အစုအတွင်း၌ အထက်တွင် ဖော်ပြထားသည့်အတိုင်း အစုဝင်များ စုစည်းလာနိုင်သော်လည်း စုဆုံမှတ် မရှိသော ရာရှင်နယ်ကိန်းများပါဝင်သည့် ကိန်းစဉ်များ ရှိသည်။ ၎င်းအတွက် ဥပမာတစ်ခုမှာ အောက်ပါ ဖွဲ့စည်းမှုပါရှိသော ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ ကိန်းစဉ် ဖြစ်သည်-

$a_{1}:=1,\quad a_{i+1}:={\frac {a_{i}}{2}}+{\frac {1}{a_{i}}}$.

ဤကိန်းစဉ်သည် ကော်ချီ ကိန်းစဉ်တစ်ခု ဖြစ်သော်လည်း ၎င်း၏ စုဆုံမှတ်မှာ အီရာရှင်နယ်ကိန်း ${\sqrt {2}}$ ဖြစ်သောကြောင့် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ အစုအတွင်း၌ စုဆုံခြင်း မရှိပေ။ ရာရှင်နယ်ကိန်းများ အစု $\mathbb {Q}$ အတွင်း၌ ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များစွာ၏ စုဆုံမှတ်များ မရှိခြင်းဟူသော ပြဿနာကြောင့် သမိုင်းကြောင်းအရ ရာရှင်နယ်ကိန်းများမှတဆင့် ကိန်းစစ်များ အစု $\mathbb {R}$ ကို ပြည့်စုံစေခြင်း (completion) နည်းလမ်းဖြင့် တည်ဆောက်ရန် ဦးတည်စေခဲ့သည်။

အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများရှိ ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များ (Cauchy sequences in metric spaces)

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက် (Definition)

ပိုမိုယေဘုယျကျစွာအားဖြင့် ကော်ချီ ကိန်းစဉ် သဘောတရားကို အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (metric) $d$ ပါရှိသော မည်သည့် အလိုရှိ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (metric space) $(X,d)$ အတွက်မဆို အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည်။ $X$ အတွင်းရှိ အစုဝင်များ (elements) ၏ ကိန်းစဉ် (sequence) $(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ တစ်ခုကို အောက်ပါအခြေအနေ မှန်ကန်ပါက ကော်ချီ ကိန်းစဉ် ဟု ခေါ်သည်။

$\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall m,n\geq N\colon \quad d(x_{m},x_{n})<\varepsilon$

ဆိုလိုသည်မှာ မည်မျှပင် သေးငယ်သော ကိန်းစစ် $\varepsilon >0$ အတွက်မဆို သက်ဆိုင်ရာ အညွှန်းကိန်း $N$ တစ်ခုရှိနေပြီး ထို $N$ ထက် ကြီးသော သို့မဟုတ် ညီသော မည်သည့် သဘာဝကိန်းများ $m,n$ အတွက်မဆို ၎င်းအစုဝင်နှစ်ခုကြား အကွာအဝေးသည် $d(x_{m},x_{n})<\varepsilon$ ဖြစ်ရမည်။

၎င်းနှင့် ညီမျှသော ဂျီဩမေတြီဆိုင်ရာ ဖော်ပြချက်တစ်ခုမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။ မည်သည့် $\varepsilon >0$ အတွက်မဆို အမှတ် (point) $a$ တစ်ခုနှင့် အညွှန်းကိန်း$N$ တစ်ခု ရှိသည်။ ထို့အတွက်ကြောင့် $x_{N}$ မှစ၍ ကိန်းစဉ်အစုဝင်များအားလုံးသည် အမှတ် $a$ ကို ဗဟိုပြု၍ အချင်းဝက် (radius) $\varepsilon$ ရှိသော အဖွင့်စက်လုံး (open ball) $B_{\varepsilon }(a)$ အတွင်း၌ တည်ရှိနေကြသည်။ ဤပုံစံသည် စုဆုံခြင်း (convergence) ၏ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်နှင့် အနည်းငယ်သာ ကွဲပြားသည်။ ဤနေရာတွင် ဗဟိုမှတ် (center) $a$ သည် အချင်းဝက် $\varepsilon$ အပေါ် မူတည်နိုင်ခွင့်ရှိသည်။ သို့ရာတွင် စုဆုံခြင်း၌မူ စုဆုံမှတ် $a$ သည် $\varepsilon$ အပေါ် အမှီအခိုကင်းရန် (independent) လိုအပ်သည်။

ပြည့်စုံမှု (Completeness)

အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (metric space) တစ်ခုအတွင်းရှိ စုဆုံ ကိန်းစဉ် (convergent sequence) တိုင်းသည် ကော်ချီ ကိန်းစဉ် (Cauchy sequence) လည်း ဖြစ်သည်။ ကိန်းစဉ် $(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ တစ်ခုသည် စုဆုံမှတ် (limit) $x\in X$ သို့ စုဆုံသည်ဆိုပါစို့။ ထိုအခါ မည်သည့် $\varepsilon >0$ အတွက်မဆို အညွှန်းကိန်း(index) $N\in \mathbb {N}$ တစ်ခု ရှိပြီး မည်သည့် $n\geq N$ အတွက်မဆို $d(x,x_{n})<{\tfrac {\varepsilon }{2}}$ ဟု ဆိုနိုင်သည်။ ထို့နောက် အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းများအတွက် တြိဂံ မညီမျှခြင်း (triangle inequality) ကို အသုံးပြုခြင်းဖြင့် မည်သည့် $m,n\geq N$ အတွက်မဆို အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။

$d(x_{m},x_{n})\leq d(x_{m},x)+d(x,x_{n})<{\tfrac {\varepsilon }{2}}+{\tfrac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$

ထို့ကြောင့် ၎င်းကိန်းစဉ်သည် ကော်ချီ ကိန်းစဉ် ဖြစ်သည်။ သို့ရာတွင် ယင်း၏ ပြောင်းပြန်အဆိုသည် အမြဲတမ်း မှန်ကန်ရန် မလိုအပ်ပေ။ ဤအချက်က နောက်ဆုံးတွင် ပြည့်စုံသော ရပ်ဝန်းများ (complete spaces) ကို မိတ်ဆက်ရန် ဖြစ်ပေါ်စေခဲ့သည်။ ပြည့်စုံသော ရပ်ဝန်းတစ်ခုတွင် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်အရ မည်သည့် ကော်ချီ ကိန်းစဉ်တွင်မဆို စုဆုံမှတ်တစ်ခု ပါရှိသည်။ ထို့အပြင် စုဆုံ ကိန်းစဉ် သဘောတရားသည် ကော်ချီ ကိန်းစဉ် သဘောတရားနှင့် ထပ်တူကျသွားသည်။ မည်သည့် ပြည့်စုံမှုမရှိသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်းကိုမဆို ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များ၏ ထပ်တူညီမှုအတန်းအစားများ (equivalence classes) ကို ဖွဲ့စည်းတည်ဆောက်ခြင်းဖြင့် ပြည့်စုံစေခြင်း (completion) ပြုလုပ်နိုင်သည်။ ဤတွင် $X$ ရှိ အစုဝင်များ၏ ကော်ချီ ကိန်းစဉ် နှစ်ခုဖြစ်သော $(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ နှင့် $(y_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ တို့ကို အောက်ပါအခြေအနေတွင် ညီမျှသည် (equivalent) ဟု ယူဆသည်။

$\forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall m,n\geq N\colon \quad d(x_{m},y_{n})<\varepsilon$

သို့မဟုတ် အခြား အဓိပ္ပာယ်တူညီသော ဖော်ပြချက်မှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။

$\lim _{m,n\to \infty }d(x_{m},y_{n})=0$

ကိန်းစဉ် နှစ်ခုအနက် တစ်ခု၏ စုဆုံမှတ်သည် $X$ တွင် ရှိနေပါက အခြားကိန်းစဉ်၏ စုဆုံမှတ်သည်လည်း ထိုရပ်ဝန်းတွင်း၌ပင် ရှိနေမည်ဖြစ်သည်။ ထို့အပြင် ၎င်းတို့၏ စုဆုံမှတ် နှစ်ခုစလုံးသည် တူညီကြသည်။