ကိုယ်ပြန်လှန် (Involution)

သင်္ချာဘာသာရပ်တွင် '''ကိုယ်ပြန်လှန် (Involution)''' ဆိုသည်မှာ မိမိကိုယ်တိုင် ပြောင်းပြန်လှန်နိုင်သော (self-inverse) ပုံဖော်မှု (mapping) တစ်ခုကို ဆိုလိုသည်။

အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်

အရင်းအမြစ်စု (domain) နှင့် ပစ်မှတ်စု (codomain) ထပ်တူညီသော $A$ ပါရှိသည့် ပုံဖော်မှု $f\colon A\rightarrow A$ တစ်ခုကို ကိုယ်ပြန်လှန် ဟုခေါ်ဆိုရန်အတွက် မည်သည့် $x\in A$ အတွက်မဆို အောက်ပါသတ်မှတ်ချက်နှင့် ပြည့်စုံရမည်-

 $f(f(x))=x$

ဤသတ်မှတ်ချက်ကို $f\circ f=\operatorname {id} _{A}$ သို့မဟုတ် $f^{2}=\operatorname {id} _{A}$ အဖြစ် ပိုမိုကျစ်လျစ်စွာ ရေးသားဖော်ပြနိုင်သည်။

ဤတွင် $\operatorname {id} _{A}$ သည် $A$ ပေါ်ရှိ ထပ်တူကျ ပုံဖော်မှု (identity mapping) ကို ကိုယ်စားပြုသည်။

ဂုဏ်သတ္တိများ

• ကိုယ်ပြန်လှန်တိုင်းသည် ဘိုင်ဂျက်ရှင်း (bijection) တစ်ခုဖြစ်ပြီး $f^{-1}=f$ ဖြစ်သည်။

• $f\colon A\to A$ နှင့် $g\colon A\to A$ တို့သည် ကိုယ်ပြန်လှန်များ ဖြစ်ကြပါက ၎င်းတို့၏ ပေါင်းစပ်ခြင်း $f\circ g$ သည် $f\circ g=g\circ f$ ဖြစ်မှသာလျှင် ၎င်းကိုယ်တိုင် ကိုယ်ပြန်လှန်တစ်ခု ဖြစ်လာမည်ဖြစ်သည်။

• $f\colon A\to A$ သည် ကိုယ်ပြန်လှန်တစ်ခုဖြစ်ပြီး $g\colon A\to A$ သည် ဘိုင်ဂျက်ရှင်းတစ်ခု ဖြစ်ပါက ပေါင်းစပ်ခြင်း $g\circ f\circ g^{-1}$ သည်လည်း ကိုယ်ပြန်လှန်တစ်ခုပင် ဖြစ်သည်။ ဤဂုဏ်သတ္တိကို အသုံးပြု၍ ကိုယ်ပြန်လှန် အသစ်များကို ဖန်တီးနိုင်သည်။

ဗက်တာရပ်ဝန်းများပေါ်ရှိ ကိုယ်ပြန်လှန်များ

$V$ သည် ဖီးလ် (field) $K$ အပေါ်ရှိ အတိုင်းအတာအကန့်အသတ်ရှိသော (finite dimensional) ဗက်တာရပ်ဝန်း (vector space) တစ်ခု ဖြစ်သည်ဆိုပါစို့။

• အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် (endomorphism) $f\in \operatorname {End} (V)$ တစ်ခု၏ အငယ်ဆုံး ပိုလီနိုမီရယ် (minimal polynomial) သည် $x^{2}-1$, $x-1$ သို့မဟုတ် $x+1$ ပုံစံရှိမှသာလျှင် $f$သည် ကိုယ်ပြန်လှန်သည်။ အထူးသဖြင့် ဆိုလိုသည်မှာ-
  • အခြေခံ ဖီးလ် $K$ ၏ ဝိသေသလက္ခဏာ (characteristic) သည် ၂ မဟုတ်ပါက ကိုယ်ပြန်လှန်သော အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင် တိုင်းကို ဒိုင်ယာဂွန်နယ်ပုံစံပြောင်းနိုင်ပြီး (diagonalizable) ၎င်း၏ အိုင်ဂန်တန်ဖိုးများ (eigenvalues) အားလုံးသည် {${-1;+1}$} အတွင်း တည်ရှိသည်။
  • ကိုယ်ပြန်လှန် $f\in \operatorname {End} (V)$ တိုင်းသည် ယေဘုယျ မျဉ်းဖြောင့်အုပ်စု ${GL(V)}$ အတွင်းရှိ ${Z/2Z}$ အုပ်စု၏ ကိုယ်စားပြုဖော်ပြမှု (representation) တစ်ခုဖြစ်သည်။
  • ဝိသေသလက္ခဏာ ၂ ရှိသော ဖီးလ် $K$ များအပေါ်တွင် ဒိုင်ယာဂွန်နယ်ပုံစံပြောင်း၍မရသော ကိုယ်ပြန်လှန်သည့် အန်ဒိုမော်ဖစ်ဇင်များ ရှိသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အတိုင်းအတာနှစ်ခုရှိသော ဗက်တာရပ်ဝန်း $\mathbb {F} _{2}^{2}$ တွင် ကိန်းအုံ ${\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}$ သည် ဒိုင်ယာဂွန်နယ်ပုံစံပြောင်း၍မရသော ကိုယ်ပြန်လှန်တစ်ခု ဖြစ်သည်။