ကိန်းလွန်

ကိန်းစနစ်များ
စံ ကိန်းစနစ်များ သဘာဝကိန်းများ $\mathbb {N}$ အနုတ်ကိန်းများ ကိန်းပြည့်များ $\mathbb {Z}$ ရာရှင်နယ်ကိန်းများ $\mathbb {Q}$ ကိန်းစစ်များ $\mathbb {R}$ ကိန်းထွေးများ $\mathbb {C}$
တိုးချဲ့ ကိန်းစနစ်များ ဂေါက်ရှန်း ကိန်းပြည့်များ အိုင်ဆင်စတိုင်း ကိန်းပြည့်များ ဒွန်တွဲကိန်းများ ဟိုက်ပါကွန်ပလက်စ်ကိန်းများ ကွာတာနီယွန်များ $\mathbb {H}$ အော့တိုနီယွန်များ $\mathbb {O}$ p-အခြေခံကိန်းများ $\mathbb {Q} _{p}$
အက္ခရာသင်္ချာ ကိန်းအမျိုးအစားများ ကိန်းရင်းများ ${\bar {\mathbb {Q} }}$ ကိန်းပြည့်ရင်းများ ကိန်းလွန်များ တည်ဆောက်နိုင်သော ကိန်းများ တွက်ချက်နိုင်သောကိန်းများ
အနန္တ ကိန်းများ အော်ဒီနယ်များ ကာဒီနယ်ကိန်းများ အလွန်သေးငယ်လွန်းသော ပမာဏများ

သင်္ချာပညာတွင် ကိန်းပြည့် မြှောက်ဖော်ကိန်းများ (integer coefficients) ပါဝင်သော မည်သည့် သုညမဟုတ်သော ပိုလီနိုမီရယ် (non-zero polynomial) ၏ ကိန်းရင်း (root) မျှ မဟုတ်ပါက ထို ကိန်းစစ် (real number) သို့မဟုတ် ကိန်းထွေး (complex number) ကို ကိန်းလွန် (transcendental number) အဖြစ် သတ်မှတ်သည်။ ၎င်းမြှောက်ဖော်ကိန်းများသည် ရာရှင်နယ် (rational) မြှောက်ဖော်ကိန်းများနှင့်လည်း အဓိပ္ပာယ် ထပ်တူညီသည် (equivalent) ။ ကိန်းလွန်မဟုတ်သော ကိန်းကို ကိန်းရင်း (algebraic number) ဟုခေါ်သည်။

ပုံစံတကျအားဖြင့် (formally) ကိန်းထွေး $\alpha$ တစ်ခုသည် သုညမဟုတ်သော ပိုလီနိုမီရယ်များအားလုံးဖြစ်သည့် $P(x)\in \mathbb {Z} [x]$ အတွက် $P(\alpha )\neq 0$ ဖြစ်ပါက ၎င်းသည် ရာရှင်နယ်ကိန်းများ၏ ဖီးလ်ဒ် (field of rational numbers) $\mathbb {Q}$ အပေါ်တွင် ကိန်းလွန် ဖြစ်သည်။ ယင်း၏ အကျိုးဆက်အနေဖြင့် ကိန်းစစ်ဖြစ်သော ကိန်းလွန်များအားလုံးသည် အီရာရှင်နယ်ကိန်းများ (irrational numbers) ဖြစ်ကြသော်လည်း ပြောင်းပြန်အဆို (converse) မှာမူ မှန်ကန်မှု မရှိပေ။

အစုအရွယ်အစား နှင့် ရေတွက်၍မရနိုင်မှု (Cardinality and Uncountability)

ကိန်းပြည့် မြှောက်ဖော်ကိန်းများပါဝင်သော ပိုလီနိုမီရယ်များအစုသည် ရေတွက်နိုင်သောအစု (countable set) ဖြစ်ပြီး ပိုလီနိုမီရယ်တစ်ခုစီတွင် အဆုံးရှိ (finitely many) ကိန်းရင်းများသာ ပါဝင်သောကြောင့် ကိန်းရင်းများအစုသည် ရေတွက်နိုင်သော အနန္တ (countably infinite) ဖြစ်သည်။ ကိန်းထွေးများ သို့မဟုတ် ကိန်းစစ်များအစုသည် ရေတွက်၍မရသောအစု (uncountable set) ဖြစ်သည်။ ထို့ကြောင့် $\mathbb {T}$ ဖြင့် သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသော ကိန်းလွန်များအစုသည်လည်း ရေတွက်၍မရသော အစုပင်ဖြစ်သည်။ တိကျစွာဆိုရသော် $\mathbb {T}$ ၏ အစုအရွယ်အစား (cardinality) သည် $2^{\aleph _{0}}$ ဖြစ်သည်။ ဤသည်မှာ ၎င်းတို့ကို အက္ခရာသင်္ချာနည်းအရ ဖော်ထုတ်ရန် ခက်ခဲသော်လည်း ကိန်းစစ်နှင့် ကိန်းထွေး အားလုံးနီးပါး (almost all) သည် ကိန်းလွန်များဖြစ်ကြသည်ဟု အဓိပ္ပာယ်ရသည်။

ခန့်မှန်းတွက်ချက်ခြင်း နှင့် လီယူဗေးလ် ကိန်းများ (Approximation and Liouville Numbers)

ကိန်းလွန်များ တည်ရှိမှု (existence) ကို ပထမဆုံး တည်ဆောက်ပြနိုင်သော သက်သေပြချက်ကို ၁၈၄၄ ခုနှစ်တွင် ဂျိုးဇက် လီယူဗေးလ်က ဒိုင်အိုဖန်တိုင်း ခန့်မှန်းတွက်ချက်မှုများ (Diophantine approximations) ကို အသုံးပြု၍ တင်ပြခဲ့သည်။ လီယူဗေးလ်၏ သီအိုရမ်က ဒီဂရီ (degree) $n\geq 2$ ရှိသော မည်သည့် ကိန်းရင်း $\alpha$ အတွက်မဆို ကိန်းသေ (constant) $c>0$ တစ်ခု တည်ရှိပြီး ရာရှင်နယ်ကိန်း $p/q$ တိုင်းအတွက် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ကြောင်း ဖော်ပြသည် ။

$\left\vert {}\alpha -{\frac {p}{q}}\right\vert {}>{\frac {c}{q^{n}}}$

ဤသီအိုရမ်က ခွင့်ပြုထားသည်ထက် ရာရှင်နယ်ကိန်းများဖြင့် ပိုမိုကောင်းမွန်စွာ ခန့်မှန်းတွက်ချက်နိုင်သော ကိန်းစစ်များကို လီယူဗေးလ် ကိန်းများ (Liouville numbers) ဟု ခေါ်ပြီး ၎င်းတို့သည် မလွဲမသွေ ကိန်းလွန်များ ဖြစ်ကြသည်။ အခြေခံကျသော ဥပမာတစ်ခုမှာ လီယူဗေးလ် ကိန်းသေ (Liouville constant) ဖြစ်ပြီး ၎င်းကို လျင်မြန်စွာ စုဆုံသော ကိန်းစဉ်တန်း (rapidly converging series) ဖြင့် အောက်ပါအတိုင်း အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်သည် ။

$L=\sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0.110001000000000000000001000\dots$

ကိန်းလွန် သီအိုရီရှိ အဓိက သီအိုရမ်များ (Key Theorems in Transcendence Theory)

• လင်ဒီမန်း-ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် သီအိုရမ် (Lindemann-Weierstrass Theorem) - $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}$ သည် $\mathbb {Q}$ အပေါ်တွင် မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသော (linearly independent) ကိန်းရင်းများ ဖြစ်ပါက ၎င်းတို့၏ ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင်များ (exponentials) ဖြစ်သော $e^{\alpha _{1}},\dots ,e^{\alpha _{n}}$ တို့သည် $\mathbb {Q}$ အပေါ်တွင် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ အမှီအခိုကင်းသော (algebraically independent) ကိန်းများဖြစ်ကြောင်း ဖော်ပြသည်။ $\alpha _{1}=1$ ဟု သတ်မှတ်ခြင်းဖြင့် ဤသီအိုရမ်သည် $e$ ၏ ကိန်းလွန်ဖြစ်မှုကို တိကျသေချာစွာ အတည်ပြုပေးသည်။ ထို့အပြင် $e^{i\pi }+1=0$ ဖြစ်သောကြောင့် $i\pi$ သည် ကိန်းရင်း မဖြစ်နိုင်သဖြင့် ၎င်းသည် $\pi$ ၏ ကိန်းလွန်ဖြစ်မှုကိုလည်း သက်သေပြသည်။
• ဂဲလ်ဖွန်-ရွှနိုင်ဒါ သီအိုရမ် (Gelfond-Schneider Theorem) - ဟီလ်ဘတ် ၏ သတ္တမမြောက် ပြဿနာ (Hilbert's seventh problem) ကို ဖြေရှင်းပေးသော ဤသီအိုရမ်အရ $\alpha \neq 0,1$ သည် ကိန်းရင်းဖြစ်ပြီး $\beta$ သည် အီရာရှင်နယ်ဖြစ်သော ကိန်းရင်းဖြစ်ပါက $\alpha ^{\beta }$ သည် ကိန်းလွန်ဖြစ်ကြောင်း ဖော်ပြသည်။ ဥပမာအားဖြင့် $2^{\sqrt {2}}$ သည် ကိန်းလွန်ဖြစ်သည်။
• ထပ်ကိန်း ခြောက်ခု သီအိုရမ် (Six Exponentials Theorem) - အကယ်၍ $\{x_{1},x_{2}\}$ သည် $\mathbb {Q}$ အပေါ်တွင် မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသော ကိန်းထွေးများအစု ဖြစ်ပြီး $\{y_{1},y_{2},y_{3}\}$ သည်လည်း $\mathbb {Q}$ အပေါ်တွင် မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းသော ကိန်းထွေးများအစု ဖြစ်ပါက တန်ဖိုးခြောက်ခုဖြစ်သည့် $e^{x_{m}y_{n}}$ များအနက် အနည်းဆုံးတစ်ခုသည် ကိန်းလွန်ဖြစ်သည်။ ဤနေရာတွင် $1\leq m\leq 2$ နှင့် $1\leq n\leq 3$ ဖြစ်သည်။

ရှနျူယယ် ၏ ယူဆချက် (Schanuel's Conjecture)

ကိန်းလွန် သီအိုရီတွင် မဖြေရှင်းရသေးသည့် ပြဿနာတစ်ခုမှာ တည်ရှိပြီးသား ကိန်းလွန် သီအိုရမ်များစွာကို ယေဘုယျပြုထားသည့် (generalizes) ရှနျူယယ် ၏ ယူဆချက် (Schanuel's conjecture) ပင်ဖြစ်သည်။ ၎င်းက $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\in \mathbb {C}$ တို့သည် $\mathbb {Q}$ အပေါ်တွင် မျဉ်းဖြောင့်နည်းကျ အမှီအခိုကင်းပါက ဤကိန်းများနှင့် ၎င်းတို့၏ ထပ်ကိန်းတင် ဖန်ရှင်များဖြင့် ထုတ်လုပ်ပေးသော $\mathbb {Q}$ အပေါ်ရှိ ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်း (field extension) ၏ ကိန်းလွန်ဖြစ်မှု ဒီဂရီ (transcendence degree) သည် အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ကြောင်း အဆိုပြုသည် ။

${\text{tr.deg}}_{\mathbb {Q} }\,\mathbb {Q} (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n},e^{\alpha _{1}},\dots ,e^{\alpha _{n}})\geq n$

အဲလစ်ပတစ် ဖန်ရှင်များ နှင့် မော်ဂျူလာ ပုံစံများ (Elliptic Functions and Modular Forms)

ကိန်းလွန် သီအိုရီသည် အဲလစ်ပတစ် ဖန်ရှင်များ နှင့် မော်ဂျူလာ ဖန်ရှင်များကို လေ့လာခြင်းအထိ ကျယ်ပြန့်သည်။ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိများ (algebraic invariants) $g_{2}(L)$ နှင့် $g_{3}(L)$ တို့ဖြင့် သတ်မှတ်ဖော်ပြထားသော လတ္တစ် (lattice) $L$ တစ်ခုအပေါ်ရှိ ဗိုင်ယာရှထရပ်စ် $\wp$-ဖန်ရှင် (Weierstrass $\wp$-function) အတွက် $\wp (\alpha )$ တန်ဖိုးသည် $\alpha \notin L$ ဖြစ်သော မည်သည့် ကိန်းရင်း $\alpha$ အတွက်မဆို ကိန်းလွန် ဖြစ်သည်။

အလားတူပင် မော်ဂျူလာ $j$-မပြောင်းလဲသော ဂုဏ်သတ္တိ (modular $j$-invariant) အတွက် ကိန်းထွေး အထက် ပြင်ညီတစ်ဝက် (complex upper half-plane) $\mathbb {H}$ ရှိ ကိန်းရင်း $z$ တွင် တန်ဖိုးရှာဖွေခြင်း (evaluated) ပြုလုပ်ထားသော $j(z)$ သည် $z$ က ကိန်းထွေး မြှောက်ခြင်း (complex multiplication) အမှတ် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ရှိမှသာလျှင် ကိန်းရင်းဖြစ်သည်။ ဤအခြေအနေသည် $z$ က ကိန်းယောင် ဒုတိယထပ်ကိန်းရင်း ဖီးလ်ဒ် (imaginary quadratic field) တစ်ခုကို ထုတ်လုပ်ပေးပြီး ကိန်းပြည့်မြှောက်ဖော်ကိန်းများ ပါဝင်သော ဒုတိယထပ်ကိန်း ညီမျှခြင်း (quadratic equation) $Aw^{2}+Bw+C=0$ ၏ ကိန်းရင်းအဖြေ ဖြစ်သည်ကို ဆိုလိုသည်။

ကိန်းလွန်များ၏ ဥပမာများ (Examples of Transcendental Numbers)

• $\pi$ နှင့် အွိုင်လာ၏ ကိန်း (Euler's number) $e$
• မည်သည့် သုညမဟုတ်သော ကိန်းရင်း $\alpha$ အတွက်မဆို $e^{\alpha }$ နှင့် $\sin(\alpha )$
• $\alpha \neq 1$ ဖြစ်သော မည်သည့် သုညမဟုတ်သော ကိန်းရင်း $\alpha$ အတွက်မဆို $\ln(\alpha )$
• $a$ သည် $a\neq 0,1$ ဖြစ်သော ကိန်းရင်းဖြစ်ပြီး $b$ သည် အီရာရှင်နယ်ဖြစ်သော ကိန်းရင်းဖြစ်သည့်အခါ $a^{b}$
• $\Gamma (1/3)$ နှင့် $\Gamma (1/4)$ ကဲ့သို့သော တိကျသည့် ရာရှင်နယ် အမှတ်များရှိ ဂါမာ ဖန်ရှင် (Gamma function) ၏ တန်ဖိုးများ
• အခြေ ၁၀ (base 10) ရှိ သဘာဝကိန်းများ (natural numbers) ကို ပေါင်းစည်းခြင်း (concatenating) ဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသော ချန်ပါနောင်း ကိန်းသေ (Champernowne constant) $\tau =0.12345678910111213\dots$

ယေဘုယျပြုထားခြင်း (Generalization)

ကိန်းလွန်ဖြစ်ခြင်း သဘောတရားကို ခေတ်သစ်အက္ခရာသင်္ချာ (modern algebra) တွင် အလိုရှိရာ (arbitrary) ဖီးလ်ဒ် တိုးချဲ့ခြင်းများဖြစ်သော $L/K$ အတွက် ယေဘုယျပြုထားသည်။ $a\in L$ အစုဝင်တစ်ခုသည် $K$ အတွင်း တိကျစွာ ပါဝင်သော မြှောက်ဖော်ကိန်းများပါရှိသည့် မည်သည့် သုညမဟုတ်သော ပိုလီနိုမီရယ်၏ ကိန်းရင်းမျှ မဟုတ်ပါက ၎င်းကို $K$ အပေါ်တွင် ကိန်းလွန်ဖြစ်သည် ဟု သတ်မှတ်သည်။ $K$ အပေါ်တွင် ကိန်းလွန်မဟုတ်သော အစုဝင်များသည် $K$ အပေါ်တွင် ကိန်းရင်းဖြစ်ကြသည်။