ကိန်းစဉ်တန်း

ကဲကုလပ်
အခြေခံ သဘောတရားများ ကဲကုလပ်၏ အခြေခံသီအိုရမ် (Fundamental theorem of calculus) စုဆုံမှတ် (Limit) အဆက်မပြတ် ဖန်ရှင် (Continuous function) ပျမ်းမျှတန်ဖိုး သီအိုရမ် (Mean value theorem) ရိုးလ်၏ သီအိုရမ် (Rolle's theorem) အစွန်းရောက်တန်ဖိုး သီအိုရမ် (Extreme Value Theorem)
ဒစ်ဖရန်ရှယ် ကဲကုလပ် ဆင်းသက်ချက် (Derivative) ဒစ်ဖရန်ရှယ် (Differential) ဆင်းသက်ချက်ရှာခြင်း စည်းမျဉ်း (Rules of derivative) လိုပီတယ် စည်းမျဉ်း (L'Hôpital's rule) သွယ်ဝိုက် ဖန်ရှင် (Implicit function) ဒစ်ဖရန်ရှယ် ညီမျှခြင်း (Differential equation)
အင်တီဂရယ် ကဲကုလပ် အင်တီဂရယ် (Integral) ပြောင်းပြန်ဆင်းသက်ချက် (Antiderivative) ရီးမန်း အင်တီဂရယ် (Riemann integral) အနန္တဘောင် အင်တီဂရယ် (Improper integral) အပိုင်းလိုက် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (Integration by parts) အစားထိုးခြင်းဖြင့် အင်တီဂရိတ်လုပ်ခြင်း (Integration by substitution)
ကိန်းစဉ်တန်းများ ကိန်းစဉ် (Sequence) ကော်ချီ ကိန်းစဉ် (Cauchy sequence) ကိန်းစဉ်တန်း (Series) ပါဝါကိန်းစဉ်တန်း (Power series) တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း (Taylor series) စုဆုံခြင်း စစ်ဆေးခြင်း (Convergence test)
ဗက်တာနှင့် ကိန်းရှင်တစ်ခုထက်ပိုသော ကဲကုလပ် ကိန်းရှင်ခွဲ ဆင်းသက်ချက် (Partial derivative) အထပ်ထပ် အင်တီဂရယ် (Multiple integral) လမ်းကြောင်းတစ်လျှောက် အင်တီဂရယ် (Line integral) မျက်နှာပြင် အင်တီဂရယ် (Surface integral) ဂရေးဒီးယင့် (Gradient) ဖြာထွက်မှု (Divergence) ဂရင်း၏ သီအိုရမ် (Green's theorem) စတုတ်၏ သီအိုရမ် (Stokes' theorem) ဖြာထွက်မှု သီအိုရမ် (Divergence theorem)
ဆက်စပ်ဘာသာရပ်များ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Mathematical analysis) ကိန်းစစ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Real analysis) ကိန်းထွေး ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Complex analysis) ဖန်ရှင်နယ် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာသင်္ချာ (Functional analysis) အပိုင်းကိန်း ကဲကုလပ် (Fractional calculus) ဒစ်ဖရန်ရှယ် ဂျီဩမေတြီ (Differential geometry)

သင်္ချာတွင် ကိန်းစဉ်တန်း (series) သည် အနန္တ ကိန်းစဉ် (infinite sequence) ၏ ကိန်းများကို ပေါင်းထားသော ပေါင်းလဒ်ဖြစ်သည်။ ကိန်းစဉ်တန်းများကို လေ့လာခြင်းသည် ကဲကုလပ် (calculus) နှင့် သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (mathematical analysis) တို့၏ အဓိက အစိတ်အပိုင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။

အနန္တ ကိန်းစဉ် $(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )$ တစ်ခုကို ပေးထားလျှင် ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုကို $\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}$ ဟူသော ဖော်ပြချက်ဖြင့် ပုံစံတကျ (formally) ဖော်ပြသည်။ ကိန်းစဉ်တန်း၏ $n$ ကြိမ်မြောက် တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ် (partial sum) သည် ၎င်း၏ ပထမဆုံး ကိန်း $n$ ခု၏ အဆုံးရှိပေါင်းလဒ်ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို $s_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ ဟု သတ်မှတ်ဖော်ပြသည်။ အကယ်၍ $n\to \infty$ အခြေအနေသို့ ရောက်ရှိသွားသောအခါ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ်များ၏ ကိန်းစဉ်သည် အဆုံးရှိသော သင်္ချာဆိုင်ရာ စုဆုံမှတ် (mathematical limit) တစ်ခုသို့ ချဉ်းကပ်သွားပါက ထိုကိန်းစဉ်တန်းကို စုဆုံသော (convergent) ကိန်းစဉ်တန်းဟု ခေါ်ဆိုသည်။ ထိုကိန်းစဉ်တန်းကို ပေါင်းစပ်နိုင်သော (summable) ကိန်းစဉ်တန်းဟုလည်း ခေါ်ဆိုနိုင်သည်။ ထိုစုဆုံမှတ်ကို ကိန်းစဉ်တန်း၏ ပေါင်းလဒ်အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ချက်ပေးထားသည်။ အကယ်၍ ၎င်းစုဆုံမှတ် မတည်ရှိပါက ထိုကိန်းစဉ်တန်းသည် ဖြာထွက်သော (divergent) ကိန်းစဉ်တန်း ဖြစ်သည်။

အစုအဖွဲ့ဖွဲ့ခြင်းနှင့် ပြန်လည်စီစဉ်ခြင်း (Grouping and Rearrangement)

အဆုံးရှိသော ပေါင်းလဒ်များတွင် အပေါင်းတွက်ချက်မှု၏ ဖက်စပ်ရဂုဏ်သတ္တိ (associativity) နှင့် ဖလှယ်ရဂုဏ်သတ္တိ (commutativity) တို့ကြောင့် ကိန်းများကို အစုအဖွဲ့ဖွဲ့ခြင်းနှင့် ပြန်လည်စီစဉ်ခြင်းတို့ကို လွတ်လပ်စွာ ပြုလုပ်နိုင်သည်။ အနန္တ ကိန်းစဉ်တန်းများအတွက်မူ ဤတွက်ချက်မှုများသည် သတိပြုရန် လိုအပ်သည်။ စုဆုံသော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု၏ ကိန်းများကို အစုအဖွဲ့ဖွဲ့ခြင်းသည် အမြဲတမ်း မှန်ကန်ပြီး ပေါင်းလဒ်ကို ပြောင်းလဲစေမည်မဟုတ်ပါ။ သို့သော်လည်း ဖြာထွက်သော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုကို အစုအဖွဲ့ဖွဲ့ခြင်းသည် ရှေ့နောက်မညီညွတ်သော စုဆုံမှတ်များဆီသို့ စုဆုံသွားသည့် တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ်များ၏ ကိန်းစဉ်တစ်ခုကို ထွက်ပေါ်လာစေနိုင်သည်။ ဤအချက်ကို ဂရန်ဒီ၏ ကိန်းစဉ်တန်း (Grandi's series) $(1-1+1-1+\cdots )$ တွင် တွေ့မြင်နိုင်သည်။

ကိန်းများ၏ အနန္တ ပြန်လည်စီစဉ်ခြင်းသည် ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု၏ စုဆုံမှတ်ကို ပြောင်းလဲစေနိုင်သည်။ ကိန်းစစ်များ (real numbers) သို့မဟုတ် ကိန်းထွေးများ (complex numbers) ပါဝင်သော ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု၏ ပကတိတန်ဖိုးများ (absolute values) ပေါင်းလဒ် $\sum |a_{n}|$ စုဆုံရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ (if and only if) မှာ ထိုကိန်းစဉ်တန်းသည် ပြန်လည်စီစဉ်ခြင်းကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားစရာမလိုဘဲ တူညီသော တန်ဖိုးတစ်ခုတည်းသို့ စုဆုံခြင်းပင် ဖြစ်သည်။ ၎င်းကို အကြွင်းမဲ့ စုဆုံခြင်း (absolute convergence) ဟု သိထားကြသည်။ အကယ်၍ ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုသည် စုဆုံသော်လည်း အကြွင်းမဲ့စုဆုံခြင်းမရှိပါက ၎င်းသည် ကန့်သတ်ချက်ဖြင့် စုဆုံသော (conditionally convergent) ကိန်းစဉ်တန်း ဖြစ်သည်။ မည်သည့် ကန့်သတ်ချက်ဖြင့် စုဆုံသော ကိန်းစစ်ပေါင်းလဒ်ကိုမဆို အလိုရှိရာ ကိန်းစစ် (arbitrary real number) တစ်ခုခုသို့ စုဆုံရန်အတွက် ပြန်လည်စီစဉ်နိုင်ကြောင်း ရီးမန်း ကိန်းစဉ်တန်း သီအိုရမ် (Riemann series theorem) က သက်သေပြထားသည်။ ၎င်းပေါင်းလဒ်ကို လုံးဝ ဖြာထွက်သွားစေရန်လည်း ပြန်လည်စီစဉ်နိုင်ကြောင်း ၎င်းသီအိုရမ်ကပင် သက်သေပြထားသည်။

ကိန်းစဉ်တန်းများအပေါ် တွက်ချက်မှုများ (Operations on Series)

ကိန်းစဉ်တန်းများ ပေါင်းခြင်းနှင့် စကေလာမြှောက်ခြင်း (scalar multiplication) တို့ကို သက်ဆိုင်ရာ ကိန်းတစ်ခုချင်းစီအလိုက် တွက်ချက်လုပ်ဆောင်ပြီး ၎င်းတို့သည် စုဆုံခြင်းကို ထိန်းသိမ်းထားသည်။ ကိန်းစဉ်တန်းနှစ်ခု၏ မြှောက်ခြင်းကို ကော်ချီ မြှောက်လဒ် (Cauchy product) ဖြင့် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ ${\biggl (}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\biggr )}\cdot {\biggl (}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}{\biggr )}=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{k}a_{j}b_{k-j}$ အကယ်၍ မူလကိန်းစဉ်တန်းနှစ်ခုစလုံးသည် အကြွင်းမဲ့ စုဆုံပါက ၎င်းတို့၏ ကော်ချီ မြှောက်လဒ်သည် ၎င်းတို့၏ ပေါင်းလဒ်များ၏ မြှောက်လဒ်ဆီသို့ အကြွင်းမဲ့ စုဆုံသည်။

အများသုံး ကိန်းဂဏန်းဆိုင်ရာ ကိန်းစဉ်တန်းများ (Common Numerical Series)

• ဂျီဩမေတြီ ကိန်းစဉ်တန်း (Geometric series) - $\sum _{n=0}^{\infty }ar^{n}$ ဖြစ်သည်။ $a\neq 0$ ဟု ယူဆပါက အဆိုပါ ကိန်းစဉ်တန်းသည် ${\frac {a}{1-r}}$ သို့ စုဆုံရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေမှာ $|r|<1$ ဖြစ်ခြင်းပင် ဖြစ်သည်။
• ဟာမိုနစ် ကိန်းစဉ်တန်း (Harmonic series) - $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ဖြာထွက်သော ကိန်းစဉ်တန်းအတွက် အခြေခံကျသော ဥပမာတစ်ခု ဖြစ်သည်။
• အလှည့်ကျ ကိန်းစဉ်တန်း (Alternating series) - ကိန်းများသည် အပေါင်းလက္ခဏာနှင့် အနုတ်လက္ခဏာ တစ်လှည့်စီ ဖြစ်နေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် အလှည့်ကျ ဟာမိုနစ် ကိန်းစဉ်တန်း $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}$ သည် $\ln(2)$ သို့ ကန့်သတ်ချက်ဖြင့် စုဆုံသည်။
• တယ်လီစကုပ်ပုံ ကိန်းစဉ်တန်း (Telescoping series) - $\sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})$ ဖြစ်သည်။ အကယ်၍ ကိန်းစဉ် $b_{n}$ သည် စုဆုံမှတ် $L$ သို့ စုဆုံပါက ၎င်းကိန်းစဉ်တန်းသည် $b_{1}-L$ ဆီသို့ စုဆုံသည်။

စုဆုံခြင်း စစ်ဆေးခြင်း (Convergence Testing)

ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခု၏ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ်များကို တိုက်ရိုက် မတွက်ချက်နိုင်သောအခါ စုဆုံခြင်း စစ်ဆေးခြင်းများကို အသုံးပြုသည်။ အကယ်၍ $\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0$ ဖြစ်ပါက ထိုကိန်းစဉ်တန်းသည် ဖြာထွက်ကြောင်း အခြေခံကျသော $n$ ကြိမ်မြောက်ကိန်း စစ်ဆေးခြင်း (nth-term test) က ဖော်ပြသည်။

အကြွင်းမဲ့ စုဆုံခြင်းကို တည်ဆောက်ရန်အတွက် တိုက်ရိုက် နှိုင်းယှဉ်စစ်ဆေးခြင်း (direct comparison test)၊ စုဆုံမှတ် နှိုင်းယှဉ်စစ်ဆေးခြင်း (limit comparison test)၊ အချိုး စစ်ဆေးခြင်း (ratio test)၊ ကိန်းရင်း စစ်ဆေးခြင်း (root test)၊ အင်တီဂရယ် စစ်ဆေးခြင်း (integral test)၊ နှင့် ကော်ချီ၏ သိပ်သည်းမှု စစ်ဆေးခြင်း (Cauchy's condensation test) တို့ အသုံးများသည်။ ဤသို့တည်ဆောက်ရာတွင် အထက်ဘောင်ရှိသော အနုတ်မဟုတ်သည့် ကိန်းများကို ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်းဖြင့် လုပ်ဆောင်လေ့ရှိသည်။ ကန့်သတ်ချက်ဖြင့် စုဆုံခြင်းအတွက် စစ်ဆေးရာတွင် အလှည့်ကျ ကိန်းစဉ်တန်း စစ်ဆေးခြင်း (alternating series test)၊ ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး၏ စစ်ဆေးခြင်း (Dirichlet's test) နှင့် အာဘဲလ်၏ စစ်ဆေးခြင်း (Abel's test) တို့ကို သုံးရသည်။ ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုသည် တိကျစွာ ဖြာထွက်နေသောအခြေအနေမျိုးတွင် ဆီဇာရို ပေါင်းခြင်း (Cesàro summation) သို့မဟုတ် အာဘဲလ် ပေါင်းခြင်း (Abel summation) ကဲ့သို့သော ပေါင်းခြင်း နည်းလမ်းများသည် ၎င်းတို့အတွက် ယေဘုယျပြုထားသော တန်ဖိုးများကို စနစ်တကျ သတ်မှတ်ပေးနိုင်သည်။

ဖန်ရှင်များ၏ ကိန်းစဉ်တန်းများ (Series of Functions)

ကိန်းစစ်တန်ဖိုးရှိ (real-valued) သို့မဟုတ် ကိန်းထွေးတန်ဖိုးရှိ ဖန်ရှင်များ (complex-valued functions) ၏ ကိန်းစဉ်တန်း $\sum f_{n}(x)$ သည် အစုတစ်ခုအတွင်းရှိ အမှတ်တစ်ခုစီတွင် စုဆုံမှတ် $f(x)$ ဆီသို့ စုဆုံပါက ၎င်းသည် အမှတ်အလိုက် စုဆုံခြင်း (pointwise convergence) ကို ပြသသည်။ ပိုမို အားကောင်းသော အခြေအနေတစ်ခုမှာ တစ်ပြေးညီ စုဆုံခြင်း (uniform convergence) ဖြစ်ပြီး ၎င်းတွင် စုဆုံနှုန်းသည် $x$ အပေါ် အမှီအခိုကင်းသည်။ တစ်ပြေးညီ စုဆုံခြင်းသည် စုဆုံမှတ်များက အဆက်မပြတ်ဖြစ်ခြင်း (continuity) အပြင် အဆုံးရှိသော အပိုင်းအခြားများ (finite intervals) ပေါ်တွင် သက်ဆိုင်ရာ ကိန်းအလိုက် အင်တီဂရိတ်လုပ်နိုင်စွမ်း (term-by-term integrability) ကဲ့သို့သော ဂုဏ်သတ္တိများကို ထိန်းသိမ်းထားကြောင်း အာမခံသည်။

• ပါဝါကိန်းစဉ်တန်း (Power series) - $\sum a_{n}(x-c)^{n}$ ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ဖန်ရှင်များ (analytic functions) ကို ဖွဲ့စည်းရန်အတွက် သတ်မှတ်ထားသော စုဆုံခြင်း အချင်းဝက် (radius of convergence) တစ်ခုအတွင်း၌ စုဆုံသည်။ ဥပမာအားဖြင့် တေလာ ကိန်းစဉ်တန်း (Taylor series) ဖြစ်သည်။ စုဆုံခြင်းကို ထည့်သွင်းစဉ်းစားခြင်းမပြုဘဲ ပုံစံတကျပေါင်းလဒ်များ (formal sums) အဖြစ် အက္ခရာသင်္ချာနည်းကျ ကိုင်တွယ်သောအခါ ၎င်းတို့သည် ပုံစံတကျ ပါဝါကိန်းစဉ်တန်းများ (formal power series) ကို ဖွဲ့စည်းပေးသည်။
• လော်ရင့် ကိန်းစဉ်တန်း (Laurent series) - ၎င်းတို့သည် အနုတ်ထပ်ကိန်းများ (negative exponents) ပါဝင်သော ကိန်းများကို လက်ခံခြင်းဖြင့် ပါဝါကိန်းစဉ်တန်းများကို ယေဘုယျပြုထားပြီး ကွင်းပုံသဏ္ဌာန်နယ်ပယ်တစ်ခုပေါ်တွင် စုဆုံသည်။
• ဒစ်ရစ်ခ်ျလေး ကိန်းစဉ်တန်း (Dirichlet series) - $\sum {\frac {a_{n}}{n^{s}}}$ ဖြစ်သည်။ ၎င်းသည် ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာမှုဆိုင်ရာ ကိန်းသီအိုရီ (analytic number theory) တွင် မရှိမဖြစ် လိုအပ်သည်။ ရီးမန်း ဇီတာ ဖန်ရှင် (Riemann zeta function) သည် ဥပမာတစ်ခု ဖြစ်သည်။
• တြီဂိုနိုမေတြီ ကိန်းစဉ်တန်း (Trigonometric series) - ၎င်းတို့သည် တြီဂိုနိုမေတြီ ဖန်ရှင်များ (trigonometric functions) ၏ ပေါင်းလဒ်များ ဖြစ်သည်။ ဖူရီယာ ကိန်းစဉ်တန်း (Fourier series) မှာ အထင်ရှားဆုံး ဥပမာတစ်ခု ဖြစ်သည်။
• ချဉ်းကပ်မှု ကိန်းစဉ်တန်း (Asymptotic series) - ကိန်းစဉ်တန်းတစ်ခုလုံး အနေဖြင့် ဖြာထွက်နေသော်လည်း ၎င်းတို့၏ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ်များသည် ချဉ်းကပ်မှု စုဆုံမှတ်တစ်ခု၌ အလွန်တိကျသော ခန့်မှန်းချက်များဖြစ်သည့် ဖြန့်ထုတ်ချက်များ ဖြစ်သည်။