ကိန်းစဉ်

သင်္ချာပညာတွင် ကိန်းစဉ် (sequence) သည် အစီအစဉ်တကျရှိသော အစုဝင် (element) များ၏ စာရင်းတစ်ခု ဖြစ်သည်။ ယင်းစာရင်းတွင် ထပ်တူညီသော အရာများကို ထပ်မံထည့်သွင်းခြင်းအား ခွင့်ပြုထားသည်။ ပုံစံတကျအားဖြင့် (formally) ကိန်းစဉ်တစ်ခုကို အရင်းအမြစ်စု (domain) သည် ဆက်တိုက်ဖြစ်နေသော ကိန်းပြည့် (integer) များ၏ အပိုင်းအခြား (interval) တစ်ခုဖြစ်သည့် ဖန်ရှင် (function) အဖြစ် အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ အဆိုပါ အရင်းအမြစ်စုအတွက် သဘာဝကိန်း (natural number) များ $\mathbb {N}$ ကို အများဆုံး အသုံးပြုလေ့ရှိသည်။^[၁] ယင်း၏ ပစ်မှတ်စု (codomain) သည် မည်သည့် အစု (set) မဆို ဖြစ်နိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် ကိန်းစစ် (real number) များ $\mathbb {R}$ ၊ ကိန်းထွေး (complex number) များ $\mathbb {C}$ ၊ သို့မဟုတ် အလိုရှိသလို ရွေးချယ်ထားသော တိုပေါ်လော်ဂျီ ရပ်ဝန်း (arbitrary topological space) တစ်ခုခု ဖြစ်နိုင်သည်။^[၂]^[၃]

ယေဘုယျအားဖြင့် ကိန်းစဉ်များကို စံ (standard) ဖန်ရှင်များမှနေ၍ သင်္ကေတအသုံးအနှုန်း (notation) အားဖြင့် ခွဲခြားသတ်မှတ်လေ့ရှိသည်။ အဝင်ကိန်း (input) ကို $a(n)$ အစား အောက်ခြေစာလုံး (subscript) အဖြစ် $a_{n}$ ဟု ရေးသားလေ့ရှိသည်။ ကိန်းစဉ်တစ်ခုလုံးကို $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ သို့မဟုတ် $(a_{n})$ ဟူ၍ သင်္ကေတပြုလေ့ရှိသည်။^[၄]^[၅]

ကိန်းစဉ် အမျိုးအစားများ (Types of Sequences)

ကိန်းစဉ်တစ်ခု၏ အလျား (length) ဆိုသည်မှာ ၎င်းတွင်ပါဝင်သော အစုဝင်များ၏ အရေအတွက်ဖြစ်သည်။ ကိန်းစဉ်များကို အောက်ပါအတိုင်း ခွဲခြားနိုင်သည်။

အဆုံးရှိ (Finite) - $n$ ရှိသော အဆုံးရှိ ကိန်းစဉ် (finite sequence) ကို $n$ -ခုတွဲ ( $n$ -tuple) ဟုလည်း ခေါ်သည်။ ၎င်းတွင် ဗလာကိန်းစဉ် (empty sequence) ပါဝင်သည်။
တစ်ဖက်သတ် အနန္တ (Singly infinite) - ၎င်းကို $\mathbb {N}$ ဖြင့် အညွှန်း (index) တပ်ထားသည်။ ၎င်းသည် ဦးတည်ရာ တစ်ဖက်တည်းသို့ အနန္တ (infinite) အထိ ဆန့်ထွက်နေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ ဖြစ်သည်။
နှစ်ဖက်စလုံး အနန္တ (Bi-infinite သို့မဟုတ် doubly infinite) - ၎င်းကို ကိန်းပြည့်များအားလုံးပါဝင်သော အစု $\mathbb {Z}$ ဖြင့် အညွှန်းတပ်ထားသည်။ ၎င်းသည် အနုတ်နှင့် အပေါင်း ဦးတည်ရာ နှစ်ဖက်စလုံးသို့ အနန္တအထိ ဆန့်ထွက်နေသည်။ ဥပမာအားဖြင့် $\ldots ,a_{-1},a_{0},a_{1},a_{2},\ldots$ ဖြစ်သည်။

ကိန်းစဉ်များကို ပုံသေနည်း (formula) တစ်ခုမှတစ်ဆင့် တိုက်ရိုက် သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ဥပမာအားဖြင့် $a_{n}=n^{2}$ ကဲ့သို့ ဖြစ်သည်။ သို့မဟုတ်ပါက ကိန်းများကို ၎င်း၏ ရှေ့ကိန်းများ၏ ဖန်ရှင်အဖြစ် သတ်မှတ်ပေးသော ထပ်ကျော့ဆက်သွယ်ချက် (recurrence relation) မှတစ်ဆင့် ထပ်ကျော့နည်းဖြင့် (recursively) လည်း သတ်မှတ်နိုင်သည်။ ဤအတွက် ထင်ရှားသော ဥပမာတစ်ခုမှာ $a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}$ ဟူသော ဖီဘိုနာချီကိန်းစဉ် (Fibonacci sequence) ဖြစ်သည်။ ပိုမို ရှုပ်ထွေးသော ထပ်ကျော့ကိန်းစဉ်များတွင် ဟိုလိုနိုမစ် ကိန်းစဉ် (holonomic sequence) များ ပါဝင်သည်။ ထိုကိန်းစဉ်များရှိ ကိန်းများကို ပိုလီနိုမီရယ် မြှောက်ဖော်ကိန်း (polynomial coefficient) များပါဝင်သော မျဉ်းဖြောင့် ထပ်ကျော့ဆက်သွယ်ချက် (linear recurrence) များဖြင့် သတ်မှတ်ထားသည်။ ထို့အပြင် ရေကာမန်၏ ကိန်းစဉ် (Recamán's sequence) သည်လည်း ရှုပ်ထွေးသော ကိန်းစဉ်တစ်ခု ဖြစ်သည်။^[၆]

အခြေခံ ဂုဏ်သတ္တိများ (Basic Properties)

အစဉ်လိုက်ဖြစ်မှု (Monotonicity) - ကိန်းစဉ် $(a_{n})$ တစ်ခုသည် $n$ အားလုံးအတွက် $a_{n+1}\geq a_{n}$ ဖြစ်လျှင် ယင်းကို အစဉ်လိုက် တိုးသော (monotonically increasing) ကိန်းစဉ်ဟု ခေါ်သည်။ ထို့အတူ $a_{n+1}>a_{n}$ ဖြစ်လျှင် တိကျစွာ အစဉ်လိုက် တိုးသော (strictly monotonically increasing) ကိန်းစဉ်ဟု ခေါ်သည်။ အစဉ်လိုက် လျော့သော ကိန်းစဉ် (decreasing sequence) များကိုလည်း ဤနည်းအတိုင်း အချိုးညီစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ အစဉ်လိုက်တိုးသော သို့မဟုတ် အစဉ်လိုက်လျော့သော ကိန်းစဉ်တစ်ခုခုကို အစဉ်လိုက်ဖြစ်သော (monotone) ကိန်းစဉ်ဟု ခေါ်သည်။
အကန့်အသတ်ရှိခြင်း (Boundedness) - ကိန်းစစ်များပါဝင်သော ကိန်းစဉ်တစ်ခုတွင် $n$ အားလုံးအတွက် $a_{n}\leq M$ ဖြစ်စေမည့် ကိန်းစစ် $M$ တစ်ခု တည်ရှိနေပါက ယင်းကိန်းစဉ်ကို အထက်မှ အကန့်အသတ်ရှိသော (bounded from above) ကိန်းစဉ်ဟု ခေါ်သည်။ ထို့အတူ အချို့သော $m$ အတွက် $a_{n}\geq m$ ဖြစ်လျှင် ၎င်းကို အောက်မှ အကန့်အသတ်ရှိသော (bounded from below) ကိန်းစဉ်ဟု ခေါ်သည်။ အဆိုပါ အခြေအနေ နှစ်ရပ်စလုံးနှင့် ကိုက်ညီသော ကိန်းစဉ်ကို အကန့်အသတ်ရှိသော (bounded) ကိန်းစဉ်ဟု ခေါ်သည်။
ကိန်းစဉ်ပိုင်းများ (Subsequences) - ကိန်းစဉ်ပိုင်း (subsequence) $(a_{n_{k}})$ တစ်ခုကို မူရင်း ကိန်းစဉ် $(a_{n})$ ထဲမှ အစုဝင်များကို ရွေးချယ်ပြီး ၎င်းတို့၏ မူလ အစီအစဉ်အတိုင်း တိကျစွာ ထားရှိခြင်းဖြင့် ဖွဲ့စည်းထားသည်။ ဆိုလိုသည်မှာ $(n_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ သည် တိကျစွာ အစဉ်လိုက် တိုးသော အညွှန်းများ၏ ကိန်းစဉ်တစ်ခု ဖြစ်ရမည်။

မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ကိန်းပြည့် ကိန်းစဉ် (multiplicative integer sequence) များလည်း တည်ရှိကြသည်။ ယင်းတို့သည် နှိုင်းရသုဒ္ဓ (coprime) ဖြစ်သော အညွှန်းကိန်းများအတွက် $a_{nm}=a_{n}a_{m}$ ဟူသော အခြေအနေနှင့် ကိုက်ညီမှုရှိသည်။ အပြည့်အဝ မြှောက်ခြင်းဆိုင်ရာ ကိန်းစဉ် (completely multiplicative sequence) များသည် ကိန်းပြည့် $n$ နှင့် $m$ အားလုံးအတွက် အဆိုပါ ဂုဏ်သတ္တိ (property) နှင့် ကိုက်ညီကြသည်။ ၎င်းတို့ကို ထပ်ကျော့နည်းဖြင့် ယေဘုယျပြု (generalization) လည်း ဖော်ပြနိုင်သည်။^[၇]^[၈]

စုဆုံမှတ်များ နှင့် စုဆုံခြင်း (Limits and Convergence)

ကိန်းစဉ်များ၏ စုဆုံခြင်း (convergence) သည် သင်္ချာဆိုင်ရာ ခွဲခြမ်းစိတ်ဖြာခြင်း (mathematical analysis) တွင် အခြေခံ သဘောတရား (concept) တစ်ခု ဖြစ်သည်။ ကိန်းစစ်များပါဝင်သော ကိန်းစဉ် $(a_{n})$ တစ်ခုတွင် $n$ သည် အလိုရှိသလောက် ကြီးမားလာသောအခါ (arbitrarily large) ကိန်းများသည် $L$ သို့ အလိုရှိသလောက် နီးကပ်လာပါက (arbitrarily close) ထိုကိန်းစဉ်သည် စုဆုံမှတ် (limit) $L$ သို့ စုဆုံသည် (converge) ဟု ဆိုသည်။

ပုံစံတကျအားဖြင့် (formally) တိုင်းတာပြဆိုရလျှင် ကိန်းစစ် $\varepsilon >0$ တိုင်းအတွက် အောက်ပါအတိုင်း သဘာဝကိန်း $N$ တစ်ခု တည်ရှိပြီး $n\geq N$ အားလုံးအတွက် ကိုက်ညီမှုရှိပါက $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ ဖြစ်သည်။^[၁] $|a_{n}-L|<\varepsilon$ ကိန်းထွေးများအတွက်ဆိုလျှင် $|\cdot |$ သည် ကိန်းထွေး မော်ဂျူးလပ်စ် (complex modulus) ကို ရည်ညွှန်းသည်။ ယေဘုယျ အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (metric space) များတွင် ၎င်းကို အကွာအဝေး ဖန်ရှင် (distance function) $d(a_{n},L)$ ဖြင့် အစားထိုး အသုံးပြုသည်။

စုဆုံသော ကိန်းစဉ်များသည် ပေါင်းခြင်း (addition)၊ စကေလာမြှောက်ခြင်း (scalar multiplication)၊ မြှောက်လဒ် (product) များနှင့် စားလဒ် (quotient) များအတွက် စံ အက္ခရာသင်္ချာဆိုင်ရာ စုဆုံမှတ် နိယာမ (algebraic limit law) များကို လိုက်နာကြသည်။^[၉] အရေးပါသော သီအိုရမ် (theorem) များမှာ အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်သည်။

ညှစ်ခြင်း သီအိုရမ် (The Squeeze Theorem) - အကယ်၍ $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$ ဖြစ်ပြီး $\lim a_{n}=\lim b_{n}=L$ ဖြစ်ပါက $\lim c_{n}=L$ ဖြစ်သည်။
အစဉ်လိုက် စုဆုံခြင်း သီအိုရမ် (Monotone Convergence Theorem) - အကန့်အသတ်ရှိပြီး အစဉ်လိုက်ဖြစ်သော ကိန်းစဉ်တိုင်းသည် စုဆုံသော ကိန်းစဉ်များ ဖြစ်ကြသည်။
ကိန်းစဉ်တစ်ခု၏ ကိန်းစဉ်ပိုင်းများအားလုံးသည် တူညီသော စုဆုံမှတ်တစ်ခုတည်းသို့ စုဆုံမှသာလျှင် မူလကိန်းစဉ်သည် စုဆုံသော ကိန်းစဉ် ဖြစ်ရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။

ကော်ချီ ကိန်းစဉ်များ (Cauchy Sequences) - အညွှန်းများ ကြီးမားလာသည်နှင့်အမျှ ကိန်းများအကြားရှိ အကွာအဝေးသည် အလိုရှိသလောက် သေးငယ်သွားပါက ထိုကိန်းစဉ်ကို ကော်ချီ ကိန်းစဉ် (Cauchy sequence) ဟု ခေါ်သည်။ ကိန်းစစ်များ $\mathbb {R}$ ကဲ့သို့သော ပြည့်စုံသော အကွာအဝေး ရပ်ဝန်း (complete metric space) တစ်ခုတွင် ကိန်းစဉ်တစ်ခုသည် ကော်ချီ ကိန်းစဉ်ဖြစ်မှသာလျှင် စုဆုံရန် လိုအပ်လုံလောက်သောအခြေအနေ ဖြစ်သည်။

အနန္တ စုဆုံမှတ်များ (Infinite Limits) - အကယ်၍ ကိန်းများသည် ပမာဏအားဖြင့် အကန့်အသတ်မရှိ (unboundedly) ကြီးမားလာပါက အဆိုပါ ကိန်းစဉ်သည် ဖြာထွက်သော (divergent) ကိန်းစဉ် ဖြစ်သည်။ ယင်းကို ပုံစံတကျအားဖြင့် $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty$ ဟု သင်္ကေတပြု ဖော်ပြသည်။ ၎င်းသည် အနုတ်လက္ခဏာဖြင့် $-\infty$ လည်း ဖြစ်နိုင်သည်။

ကိန်းစဉ်တန်းများ နှင့် ဆက်စပ်မှု (Relationship to Series)

ကိန်းစဉ်တန်း (series) $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ တစ်ခုကို ၎င်း၏ တစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ် (partial sum) များဖြစ်သော $S_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}$ ပါဝင်သည့် ကိန်းစဉ်ဖြင့် တိကျသေချာစွာ အဓိပ္ပာယ်သတ်မှတ်ထားသည်။ အကယ်၍ ဤတစ်စိတ်တစ်ပိုင်း ပေါင်းလဒ်များ၏ ကိန်းစဉ် $(S_{N})$ သည် စုဆုံမှတ်တစ်ခုသို့ စုဆုံပါက မူလကိန်းစဉ်တန်းသည်လည်း ထိုတန်ဖိုးသို့ စုဆုံသည်ဟု ဆိုသည်။

References

1 2 Gaughan၊ Edward (2009)၊ Introduction to Analysis၊ American Mathematical Society၊ p. Chapter 1.1
↑ Saff၊ Edward B.; Snider၊ Arthur David (2003)၊ Fundamentals of Complex Analysis၊ Prentice Hall၊ p. Chapter 2.1
↑ Munkres၊ James R. (2000)၊ Topology၊ Prentice Hall၊ pp. Chapters 1 and 2
↑ Sequences၊ MathsIsFun၊ 2020
↑ Weisstein၊ Eric W. (2020)၊ Sequence၊ MathWorld
↑ A005132: Recamán's sequence၊ On-Line Encyclopedia of Integer Sequences၊ 2018
↑ Lando၊ Sergei K. (2003)၊ Lectures on generating functions၊ American Mathematical Society၊ p. Chapter 7.4
↑ Falcon၊ Sergio (2003)၊ Fibonacci's multiplicative sequence၊ International Journal of Mathematical Education in Science and Technology၊ pp. 310–315
↑ Dawkins၊ Paul (2012)၊ Series and Sequences၊ Paul's Online Math Notes

[Gaughan-1] 1 2 Gaughan၊ Edward (2009)၊ Introduction to Analysis၊ American Mathematical Society၊ p. Chapter 1.1

[Saff-2] Saff၊ Edward B.; Snider၊ Arthur David (2003)၊ Fundamentals of Complex Analysis၊ Prentice Hall၊ p. Chapter 2.1

[Munkres-3] Munkres၊ James R. (2000)၊ Topology၊ Prentice Hall၊ pp. Chapters 1 and 2

[:0-4] Sequences၊ MathsIsFun၊ 2020

[5] Weisstein၊ Eric W. (2020)၊ Sequence၊ MathWorld

[6] A005132: Recamán's sequence၊ On-Line Encyclopedia of Integer Sequences၊ 2018

[7] Lando၊ Sergei K. (2003)၊ Lectures on generating functions၊ American Mathematical Society၊ p. Chapter 7.4

[8] Falcon၊ Sergio (2003)၊ Fibonacci's multiplicative sequence၊ International Journal of Mathematical Education in Science and Technology၊ pp. 310–315

[Dawkins-9] Dawkins၊ Paul (2012)၊ Series and Sequences၊ Paul's Online Math Notes

[၁]

[၂]

[၃]

[၄]

[၅]

[၆]

[၇]

[၈]

[၉]